指数与对数比较大小的方法探究

■陈 猛

指数与对数的比较大小是函数单调性的应用载体,又是逻辑推理与化归思想的体现,是提高同学们数学综合素养的有效途径。下面通过几道例题的分析,希望对同学们的学习有所帮助。

例1设a=log3e,b=e1.5,c=,则( )。

A.b＜a＜cB.c＜a＜b

C.c＜b＜aD.a＜c＜b

解:因为b=e1.5＞2=log39＞log34=c==1,而1＞log3e=a,所以a＜c＜b。应选D。

感悟:比较指数与对数的大小,可利用指数函数与对数函数的单调性,同时引入0,1等中间量进行求解。

例2设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )。

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

解:令2x=3y=5z=t,x,y,z为正数,则t＞1,所以。,即2x＞3y。,即2x＜5z。

综上可得,3y＜2x＜5z。应选D。

感悟:针对已知条件中的连等式,可借助新的参数作为变量,表示题目中的相关量,再通过作差或作商来比较大小。

例3设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )。

A.a+b＜ab＜0 B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜abD.ab＜0＜a+b

解:因为a=log0.20.3＞log0.21=0,b=log20.3＜log21=0,所以ab＜0。

感悟:根据已知条件(或选项)构造相应的函数,利用函数的单调性比较大小。

例4若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )。

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

解:因为幂函数y=xc(0＜c＜1)在(0,+∞)上是增函数,又a＞b＞1,所以ac＞bc,A 不正确。幂函数y=xc-1(c-1＜0)在(0,+∞)上是减函数,由a＞b＞1,可得bc-1＞ac-1,所以abc＞bac,B不正确。由a＞b＞1,可得lga＞lgb＞0,所以alga＞blgb＞0。因为lgc＜0,所 以。又,所以,即alogbc＜blogac,C 正确。由函数y=logax与y=logbx(a＞b＞1,0＜x＜1)的图像(图略)知在x=c处的函数值满足logac＞logbc,D 不正确。应选C。

感悟:利用函数的图像与性质比较函数值的大小,可以达到学以致用的目的。