求函数最值与值域的常用方法

■甄新锋

求函数的最值与值域是高中数学的重要内容。函数的值域就是全体函数值的集合,是由其定义域、对应法则共同决定的。求函数的最值与值域在解法上是相通的。下面举例分析,供同学们学习与参考。

方法一:函数的单调性法

例1已知函数f(x)=ax+(a＞0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),则g(a)的最大值为_____。

评注:利用单调性法求最值,先确定函数的单调性,再由单调性求最值。

方法二:判别式法

例2设非零实数a,b满足a2+b2=4,若函数存在最大值M和最小值m,则M-m=____。

评注:形如分子、分母的最高次数为二次的分式函数,可利用判别式法求函数的最值。

方法三:二次函数的性质法

例3已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,则f(x)在[1,2]上的值域为____。

又[1,2]⊆[-2,+∞),且f(x)在[-2,+∞)上单调递增,所以f(x)在[1,2]上单调递增。所以当x=1 时,f(x)取得最小值f(1)=4-m+1=21;当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=16-2m+1=49。

故f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]。

评注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a＞0时,顶点为图像的最低点,即当x=时,y的值最小;当a＜0时,顶点为图像的最高点,即当x=时,y的值最大。

方法四:基本不等式法

例4已知幂函数f(x)的图像过点,则函数g(x)=f(x)+的最小值为_____。

评注:利用基本不等式求最值时,必须满足的三个条件:一正、二定、三相等。“一正”就是各项必须为正数;“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值,要求积的最大值,必须把构成积的因式的和转化成定值;“三相等”就是检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值。

方法五:分离常数法

例5当-3≤x≤-1 时,函数y=的最小值为____。

评注:求形如的函数的值域或最值,常用分离常数法求解。

方法六:反解法

例6函数的值域为____。

评注:反解法求函数的值域,先由已知函数式解出x,再根据x的取值范围列不等式求出值域。

方法七:换元法

例7函数y=x+的值域是_____。

评注:求形如y=+(cx+d)(ac≠0)或y=ax+b±的函数值域或最值,常用代数换元法或三角换元法,再结合函数的相关性质求解。

方法八:绝对值不等式法

例8函数y=|x+1|+|x-3|的值域为____。

评注:含有绝对值的不等式的性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

方法九:数形结合法

例9函数f(x)=|x-1|+x2的值域为____。

函数f(x)=|x-1|+x2=

作出分段函数f(x)的图像(图略)。由图知函数f(x)=|x-1|+x2的值域为。

评注:数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,如利用函数的图像来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。