“函数奇偶性的判断与证明”学习导航

■王佩其

一、基础知识必备

1.奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的,奇偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局部”性质;定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。奇函数的图像关于原点成中心对称,偶函数的图像关于y轴对称。具有奇偶性的函数,其定义域必然关于原点对称;若f(x)是奇函数,则f(0)=0;奇函数在关于原点对称的区间上,若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反;偶函数在关于原点对称的区间上,若有单调性,则其单调性相反,最值相同。

2.判断函数奇偶性的三种方法:定义法,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x),则f(x)是偶函数,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=-f(x),则f(x)是奇函数;图像法,图像关于原点成中心对称的函数是奇函数,图像关于y轴对称的函数是偶函数;运算法,奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数。

3.若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都关于原点对称,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y=f[g(x)]是偶函数。

二、典型例题分析