集合与函数核心考点综合演练

刘中亮

一、选择题

1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )。

A.{0} B.{1}

C.{1，2} D.{0，1，2}

2.已知集合A={x|x2-x-2＞0}，则∁RA=( )。

A.{x|-1＜x＜2}

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x＜-1}∪{x|x＞2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

3.设全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，则(∁UA)∩B=( )。

A.{x|0＜x＜3} B.{x|0≤x≤3}

C.{x|0＜x≤3} D.{x|0≤x＜3}

4.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2-3x+a=0，a∈A}，若A∩B≠Ø，则a的值为( )。

A.1 B.2

C.3 D.1或2

5.设全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|x-1≥0}，则图1中阴影部分所表示的集合为( )。

图1

A.{x|x≤-1或x≥3}

B.{x|x＜1或x≥3}

C.{x|x≤1}

D.{x|x≤-1}

6.某班共40 人，其中24 人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为( )。

A.17 B.18

C.19 D.20

7.已知集合A={0}，B={-1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为( )。

A.1 B.2

C.4 D.8

8.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，B={3，4，5，X}，若B⊆A，则X可 以 取 的 值为( )。

A.1，2，3，4，5，6 B.1，2，3，4，6

C.1，2，3，6 D.1，2，6

9.已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为( )。

A.1 B.2

C.4 D.不确定

13.已知函数f(x)=x2-2x-3，则该函数的单调递增区间为( )。

A.(-∞，1] B.[3，+∞)C.(-∞，-1] D.[1，+∞)

14.设f(x)-x2=g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为( )。

A.g(x)=x3B.g(x)=cosx

C.g(x)=1+xD.g(x)=xex

16.已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)单调递增，且f(1)=0，若f(x-1)＞0，则x的取值范围为( )。

A.{x|0＜x＜1或x＞2}

B.{x|x＜0或x＞2}

C.{x|x＜0或x＞3}

D.{x|x＜-1或x＞1}

17.已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )。

A.-2 B.2

C.-98 D.98

18.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，且在[-1，0]上单调递减，设a=f(2)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系是( )。

A.b＜c＜aB.a＜b＜c

C.b＜a＜cD.a＜c＜b

（2）小组在分组进行讨论时，教师不是放手让学生去漫无边际地讨论，而是要发挥好“领路人”的作用，这是中职学生的自我学习能力和自觉性局限性所致。当学生讨论的思路偏离或者遇到障碍时，教师要及时提供帮助。

20.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x＞0 时，f(x)=x2-x，则 不 等 式f(x)＞0的解集用区间表示为( )。

A.(-1，1)

B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(-∞，-1)∪(0，1)

D.(-1，0)∪(1，+∞)

21.若 函 数f(x)=2|x-a|+3 在 区 间[1，+∞)上不单调，则实数a的取值范围是( )。

A.[1，+∞) B.(1，+∞)

C.(-∞，1) D.(-∞，1]

22.已知函数f(x)在[0，4]上是增函数，且函数y=f(x+4)是偶函数，则下列结论正确的是( )。

B.f(2)＜f(5)＜f(4)

C.f(5)＜f(4)＜f(2)

D.f(4)＜f(2)＜f(5)

23.已知奇函数f(x)的定义域为R，当x∈(0，2]时，f(x)=x2+1，且函数f(x+1)为偶函数，则f(2018)+f(-2019)的值为( )。

A.7 B.2

C.-7 D.3

24.已知f(x)是定义域为(-1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m-2)+f(2m-3)＞0，那么实数m的取值范围是( )。

二、填空题

25.已知全集U=R，集合A={x|x＜3或x≥7}，B={x|x＜a}。若(∁UA)∩B≠Ø，则实数a的取值范围为____。

26.设集合A={x|x+m≥0}，B={x|-2＜x＜4}，全集U=R，且(∁UA)∩B=Ø，则实数m的取值范围为____。

27.对于任意两个集合A，B，定义AB={x|x∈A且x∉B}，A*B=(A-B)∪(B-A)，记A={y|y≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则A*B=____。

三、解答题

35.若集合A={(x，y)|x2+mx-y+2=0，x∈R}，B={(x，y)|x-y+1=0，0≤x≤2}，当A∩B≠Ø时，求实数m的取值范围。

36.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}。

(1)若A∩B={2}，求实数a的值。

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围。

37.已知集合A={x|x＜-2或x＞3}，B={x|4x+m＜0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围。

38.设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1 时，函数f(x)=x。

(1)求f(π)的值。

(2)当-4≤x≤4 时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积。

39.已知函数y=f(x)在定义域[-1，1]上既是奇函数，又是减函数。

(1)求证：对任意x1，x2∈[-1，1]，都有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0。

(2)若f(1-a)+f(1-a2)＜0，求实数a的取值范围。

40.设f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数且在(-∞，0)上为增函数。

(1)若m·n＜0，m+n≤0，求 证：f(m)+f(n)≤0。

(2)若f(1)=0，解关于x的不等式f(x2-2x-2)＞0。

一、选择题

1.提示：由A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，可得A∩B={1，2}。应选C。

2.提示：由x2-x-2＞0，可得(x-2)·(x+1)＞0，解得x＞2或x＜-1，所以A={x|x＞2 或x＜-1}，则∁RA={x|-1≤x≤2}。应选B。

3.提示：由题意可得，∁UA={x|x＜3}，所以(∁UA)∩B={x|0≤x＜3}。应选D。

4.提示：当a=1时，x2-3x+1=0，无整数解，则A∩B=Ø；当a=2时，B={1，2}，A∩B={1，2}≠Ø；当a=3时，B=Ø，A∩B=Ø。因此实数a=2。应选B。

5.提示：图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)。由A={x|-1＜x＜3}，B={x|x≥1}，可得A∪B={x|x＞-1}，所以∁U(A∪B)={x|x≤-1}。应选D。

6.提示：记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁UB(图略)。易得人数为18。应选B。

7.提示：由题意可得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，-1}，{0，1}，{0，-1，1}，即符合条件的集合C共有4个。应选C。

8.提示：由B⊆A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6。应选D。

9.提示：由方程x2-3x-a2+2=0，可得Δ=1+4a2＞0，所以方程有两个不相等的实根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22=4(个)子集。应选C。

12.提 示：当a≥0 时，不 等 式 可 化 为a(a2+a-3a)＞0，即a2+a-3a＞0，即a2-2a＞0，解得a＞2 或a＜0(舍去)；当a＜0时，不等式可化为a(-3a-a2+a)＞0，即-3a-a2+a＜0，即a2+2a＞0，解得a＜-2或a＞0(舍去)。综上可知，实数a的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞)。应选D。

13.提示：设t=x2-2x-3。由t≥0，可得x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪[3，+∞)。因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴为x=1，所以函数t在(-∞，-1]上单调递减，在[3，+∞)上单调递增。故函数f(x)的单调递增区间为[3，+∞)。应选B。

14.提示：因为f(x)=x2+g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以(-x)2+g(-x)=x2+g(x)，即g(-x)=g(x)，所以g(x)为偶函数。由选项可知，只有B 中的函数为偶函数。应选B。

15.提示：函数f(x)的定义域为[-3，0)∪(0，3]，且f(-x)=-f(x)，可得f(x)是奇函数，故图像关于原点对称。应选B。

16.提示：函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)=0。由f(x-1)＞0，可得-1＜x-1＜0或x-1＞1，所以0＜x＜1或x＞2。应选A。

17.提示：由f(x+4)=f(x)，可得f(7)=f(3)=f(-1)。由f(x)为奇函数，可得f(-1)=-f(1)，f(1)=2×12=2。故f(7)=-2。应选A。

20.提示：由f(x)是定义在R 上的奇函数，可得f(0)=0。设x＜0，则-x＞0。当x＞0时，f(x)=x2-x，可得f(-x)=x2+x。又f(-x)=-f(x)，所以f(x)=-x2-x，x＜0。当x＞0时，由f(x)＞0得x2-x＞0，解得x＞1 或x＜0(舍去)，此时x＞1。当x=0时，f(0)＞0不成立。当x＜0时，由f(x)＞0得-x2-x＞0，解得-1＜x＜0。综上可得，x∈(-1，0)∪(1，+∞)。应选D。

21.提示：易知函数f(x)=2|x-a|+3的增区间为[a，+∞)，减区间为(-∞，a]。因为函数f(x)=2|x-a|+3 在区间[1，+∞)上不单调，所以a＞1。应选B。

22.提示：因为y=f(x+4)是偶函数，所以y=f(x+4)的图像关于直线x=0对称，所以函数y=f(x)的图像关于直线x=4对称，所以f(5)=f(3)。又函数y=f(x)在[0，4]上是增函数，所以f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(5)＜f(4)。应选B。

23.提示：由f(x)为R 上的奇函数，f(x+1)为偶函数，可得f(x)=f(x-1+1)=f(1-x+1)=f(-x+2)=-f(x-2)=f(x-4)，可知f(x)是周期为4的周期函数。故f(2018)+f(-2019)=f(2)+f(1)=5+2=7。应选A。

二、填空题

25.提示：因为A={x|x＜3 或x≥7}，所以∁UA={x|3≤x＜7}。又(∁UA)∩B≠Ø，则a＞3。答案为(3，+∞)。

26.提示：由已知A={x|x≥-m}，可得∁UA={x|x＜-m}。由B={x|-2＜x＜4}，(∁UA)∩B=Ø，可得-m≤-2，即m≥2。故实数m的取值范围为{m|m≥2}。

27.提示：由题意可知A-B={x|x＞3}，B-A={x|-3≤x＜0}，所以A*B=[-3，0)∪(3，+∞)。

30.提示：由f(x)=2x-x2，x∈(-2，2]，可知f(-1)=-3，f(0)=0，f(2)=0。又f(x)的周期为4，所以f(2018)+f(2019)+f(2020)=f(2)+f(-1)+f(0)=0-3+0=-3。

31.提示：由f(x)是R 上的奇函数，可得f(0)=0。又对任意x∈R 都有f(x+6)=f(x)+f(3)，可得当x=-3时，有f(3)=f(-3)+f(3)=0，可得f(-3)=0，f(3)=0，可得f(x+6)=f(x)，可知其周期为6。故f(2019)=f(3)=0。

32.提示：因为f(x)的图像关于直线x=2对称，所以f(x)=f(4-x)，f(-x)=f(4+x)。又f(-x)=f(x)，所以f(x)=f(4+x)，可知其周期为4，则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3。

三、解答题

故m的取值范围为(-∞，-1]。

36.提示：(1)由A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，A∩B={2}，可得2∈B，2 是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0 的根，所以a2+4a+3=0，即a=-1或a=-3。经检验a的取值符合题意，故a=-1或a=-3。

(2)由A∪B=A，可得B⊆A。

当B=Ø时，由Δ=4(a+1)2-4(a2-5)＜0，解得a＜-3。

当B只有一个元素时，Δ=0，即a=-3。同理当B有两个元素时，a＞-3。当B≠Ø 时，由B={1}，利用韦达理可知a∈Ø；由B={2}，利用韦达定理可解得a=-3；由B={1，2}，利用韦达定理可知a∈Ø。

综上可知，a的取值范围是(-∞，-3]。

38.提示：(1)由f(x+2)=-f(x)，可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4 为周期的周期函数，所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4。

(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x)，可得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)]，即f(1+x)=f(1-x)，故函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称。

又当0≤x≤1时，f(x)=x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，据此画出f(x)的大致图像，如图2所示。

图2

设当-4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S=4S△OAB=4。

39.提示：(1)若x1+x2=0，显然原不等式成立。

若x1+x2＜0，则-1≤x1＜-x2≤1。因为f(x)在[-1，1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)＞f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)＞0。所以[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)＜0成立。

若x1+x2＞0，则-1≤-x2＜x1≤1。同理可证f(x1)+f(x2)＜0，所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)＜0成立。

综上所述，对任意x1，x2∈[-1，1]，都有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0恒成立。

(2)f(1-a)+f(1-a2)＜0⇔f(1-a2)＜-f(1-a)=f(a-1)。

由f(x)在定义域[-1，1]上是减函数，

40.提示：(1)因为m·n＜0，m+n≤0，所以m，n为一正一负。不妨设m＞0，n＜0，则n≤-m＜0。取n=-m＜0，由f(x)在(-∞，0)上为增函数，可得f(n)=f(-m)。取n＜-m＜0，同理f(n)＜f(-m)，所以f(n)≤f(-m)。又因为f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上为奇函数，所以f(-m)=-f(m)，所以f(n)+f(m)≤0。