妙用赋值法速解函数题

王 晖

在求解有关函数问题时，我们经常会遇到“对某一区间上一切变量都有某条件成立”这类问题，解题的关键要能够巧妙、合理、灵活地对变量赋予一系列特殊值，进行归纳推理，这样便可以简捷、快速、正确地获解。

一、求值

例1如果函数f(x)=(x+a)3对任意x∈R，都有f(1+x)=-f(1-x)，试求f(2)+f(-2)的值。

解：由于f(1+x)=-f(1-x)对任意x∈R 成立，为此取x=0，则f(1)=-f(1)，于是可得f(1)=0。因为f(1)=(1+a)3，所以a=-1，所以函数f(x)=(x-1)3。故f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=-26。

二、判断函数的奇偶性

例2设函数y=f(x)(x∈R 且x≠0)对任意非零实数x1，x2均满足f(x1·x2)=f(x1)·f(x2)成立，试判断f(x)的奇偶性。

解：令x1=x2=1，代入所给关系式，可得f(1)=0。

令x1=x2=-1，可得f(-1)=0。

再令x1=x，x2=-1，可得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，故f(x)是偶函数。

三、求函数的解析式

例3设f(x)是定义在N 上的函数，满足f(1)=1，对任意自然数a，b，都有f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，求函数f(x)。

解：令a=x，b=1，则f(x)+f(1)=f(x+1)-x。

由于f(1)=1，所以f(x+1)-f(x)=x+1。

在上式中令x=1，2，3，…，n-1，可分别得到：

f(2)-f(1)=2，f(3)-f(2)=3，…，f(n)-f(n-1)=n。

四、求函数的综合问题

例4对每一实数对(x，y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a。

解：令x=y=0，可得f(0)=-1。

令x=y=-1，由f(-2)=-2，可得f(-1)=-2。

又令x=1，y=-1，可得f(1)=1。

再令x=1，y=n，可得f(n+1)-f(n)=n+2。

五、证明与函数有关的不等式

例5设函数f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1。求证：当|x|≤1时，都有|cx2±bx+a|≤2。

证明：根据题意，当x分别取0，-1，1时，可得|f(0)|≤1，|f(-1)|≤1，|f(1)|≤1，所以|c|≤1，|a-b+c|≤1，|a+b+c|≤1。

当|x|≤1，即x∈[-1，1]时，可得|cx2±bx+a|=|cx2-c+c±bx+a|≤|c|·|x2-1|+|c±bx+a|≤1+|a±bx+c|(此处涉及绝对值不等式)。

由于g(x)=a±bx+c是关于x的一次函数，它的最大值与最小值在区间端点处取得，所以|a±bx+c|≤max{|a-b+c|，|a+b+c|}≤1。

故|cx2±bx+a|≤2。