过点
- 对一道调研试题的深入剖析
-1+lnx,则过点(a,b)恰能作曲线y=f(x)的两条切线的充分条件可以是( ).A.b=2a-1>1B.b=2a-1C.2a-1试题表述简洁明了、内涵丰富,重点考查了曲线的切线、函数的零点拐点与极值点、导数放缩等知识和方法,是一道综合性强、能力要求高的导数压轴客观题.显然,这道调研试题命题与下面的高考题存在一定的关联.(2021年新高考Ⅰ卷第7题)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( ).A.ebC.0可以看出,调考试题体现了新高考Ⅰ卷
中学数学研究(江西) 2023年6期2023-06-01
- 全面思考 言必有据
= AC.错解：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D，则BD = CD. 再证明△ABD ≌ △ACD，得到AB = AC. 这种作辅助线的表述有问题，因为过点A作BC的垂线与中线，两线不一定重合.正解：过点A作BC的垂线AD，垂足为D. ∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC.∵AD = AD，∠B = ∠C， ∴△ABD ≌ △ACD（AAS），∴AB = AC.反思：作辅助线时，一般不能同时满足两个或两个以上的条件. 若要使所作辅助线同时满足两个要求，
初中生学习指导·提升版 2023年3期2023-03-31
- 且把金针度与人
——对一道初中数学学业考试题的探索与思考
垂线分割法方法3过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F(如图4),则△BEC和△CFD都是直角三角形，四边形AEFD是矩形.在Rt△BEC中，BC=3，易得BE和CE的长度，易求EF的长度，进而可知CF的长度，故可求得AB的长度.图4 图5方法4过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F(如图5),则△ABE和△ADF都是直角三角形，四边形CEFD是矩形，易求AB的长.方法5过点D作DE⊥DC交AB于点E，过点E作EF⊥BC交BC于点F
中学教研(数学) 2023年2期2023-02-18
- 探究圆锥曲线关于切线长的统一恒等式
和点T不重合),过点P作OT的平行线交圆锥曲线于不同的两点A,B,则λ=为定值.图1文[2]给出以下结论:性质2 (1)如图2,已知点P在椭圆C:=1上,点Q(m,n)不在椭圆C上,过点Q作平行于OP的直线图2我们发现两个结论之间有联系,并思考能否将两个结论结合起来得到更优美的结论呢?2 探究与结论证明已知O为坐标原点,点T(x0,y0)为椭圆C上一点,C在点T处的切线为l,点P(xp,yp)是l上的任意一点(和点T不重合),过点P作OT的平行线交椭圆于不
中学数学研究(广东) 2022年23期2023-01-02
- 几何极值
)如图2，对任一过点P的线取B′C′(点B′，C′分别在AB，AC的延长线上)，则有∠BCC′>∠B，所以过点C在∠BCC′内作CD，使∠BCD=∠B(即CD∥AB).设CD交PC′于点D，则由BP=PC，可得∆PBB′≌∆PCD.所以S∆AB′C′>S∆ABC.(2)如图3，设旁切圆分别切直线AB，AC于点E，F，则BP=BE，PC=CF，所以∆ABC的周长等于AE+AF.对另一∆AB′C′(B′C′过点P且点B′,C′分别在AB，AC的延长线上)，设B
初中数学教与学 2022年19期2022-11-28
- 2022年加拿大奥林匹克试题例谈
BC内接于圆Γ,过点A作BC的垂线,交Γ于点D;过点B作AC的垂线,交Γ于点E.若AB=DE,证明:∠ACB=60°.证明因为AD⊥BC,例2用若干个下面的“丁四”(如图2)覆盖一个n×n的网格,恰好既不重合,也不溢出.问n应为什么样的值?解显然4|n×n,所以n为偶数2k,而丁四为k2.例3实数a,b满足①求②的值.③如何选择正负号?不妨设a>0>b,这时=ab-ab=0>-1.因此③ 式中应取“+”号,即④严格说来,还应指出④ 式可以成立(否则题目本身
高中数学教与学 2022年17期2022-10-26
- 平面直角坐标系中求三角形面积的方法探究
方法1 如图7，过点B作BM∥x轴交CA的延长线于点M，则S△ABC=S△BMC-S△BMA=12·BM·CE-12·BM·AD=12·BM·CN=12·BM·|yC-yA|.或如图8，过点A作AM∥y轴交CB的延长线于点M，则S△ABC=S△AMC-S△AMB=12·AM·CD-12·AM·BE=12·AM·CN=12·AM·|xC-xB|.方法2补成一个梯形如图9，分别过点A，C作x轴的垂线与过点B且平行于x轴的直线交于点M，N，则四边形AMNC为梯形
数理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25
- 双曲线中常见辅助线的作法
k=.解 如图，过点C作CE⊥x轴于点E，因为点C在双曲线y2=2x上，所以S△OCE=1，因为S△OCD=2，所以S△ECD=S△OCE=1，所以点E为OD的中点，因为CE∥AD，所以点C是OA的中点，所以S△OAD=2S△OCD=4，因为函数y1（x>0）的图象过点A，AD⊥x轴，所以k=8.2 作垂线段构造全等三角形例2 图2如图2，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点
数理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25
- 解答任意四边形问题的四种作辅助线的技巧
求AD的长.解 过点A作AE⊥CB的延长线于点E，过点D作DF⊥BC的延长线于点F，过点A作AG⊥DF于点G，所以四边形AEFG是矩形，所以EF=AG，因为∠ABC=135°，∠BCD=120°，所以∠ABE=45°，∠DCF=60°，则∠ABE=∠BAE=45°，∠CDF=30°，因为AB=2，BC=3-3，CD=23，由勾股定理得CF=3，BE=AE=1，DF=3，所以EF=AG=BE+BC+CF=1+3-3+3=4，DG=DF-FG=DF-AE=3-
数理天地(初中版) 2022年5期2022-07-24
- Philon面及其性质*
者称为∠AOB内过点P的Philon线.历史上，Philon有时又称为Philo.因此，Philon线又可称为Philo线.Philon线不仅具有重要的理论意义，而且在解决工程设计选线问题中具有广泛的应用[2].Philon线的概念可以类比推广到三维空间上，从而得到Philon面的概念.下面给出三面角的Philon面和圆锥面的Philon面的定义.定义若P为已知三面角O-ABC(直圆锥面O-ABC)内的一个定点，过P点任作一个不过O点的平面与三面角O-AB
赣南师范大学学报 2022年3期2022-06-16
- “铅垂高、水平宽”巧解三角形面积
.解析：如图1，过点C作y轴的平行线，交AB于D，过点B作DC的垂线，垂足为F，过点A作DC的垂线，交CD的延长线于点E，[S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD?AE+12CD?BF=12CD （AE+BF）]，此处AE + BF即为A，B两点之间的水平距离.由题意得AE + BF = 6.由A（1，1），B（7，3）得直线AB的解析式为y = [13]x + [23]，由点C（4，7），可得点D（4，2），所以CD = 5，[则S△ABC=12C
初中生学习指导·提升版 2022年6期2022-05-30
- 以一次函数为背景的规律探究
：y = x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1;过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于N2;过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2;过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3;……，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为 .解析：如图3，过N1作N1E⊥x轴于E，N1F⊥y轴于F，∵N1（1，1），∴N1E = N1F = 1，∴∠N1OM1 = 45°，∴∠N1OM1 = ∠N1M1O = 45°，∴△N1OM1是等腰直角三角形，∴N1F = O
初中生学习指导·提升版 2022年7期2022-05-30
- 一道中考题的探究与变式
B = 90°，过点D作DE⊥AB于E，DE = BE.（1）求证：DA = DC;（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE = 30°，AD = 6，求DF的长. （本文仅分析第一问）学法指导解法1：构造正方形法如图2，过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，∵DE⊥AB，∠B = 90°，DG⊥BC，∴四边形DEBG是矩形.∵DE = BE，∴四边形DEBG是正方形，∴DG = DE，∠EDG = ∠G = 90°.∵∠ADC = 90°，∴∠GDC
初中生学习指导·提升版 2022年7期2022-05-30
- 巧作平行线 构造相似形
解法2：如图3，过点D作DG∥BC，交AE于点G，AF于点H。根据三角形中位线定理得到CF=2DH，得到QB=4DQ，BP=PD，得到BP、PQ与DQ的关系，求比即可。【点评】本题考查平行线分线段成比例定理和三角形中位線定理，灵活运用定理、找准对应关系是关键。类型二：过顶点作平行线构造相似三角形例2 （2021·江苏连云港）如图4，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D。若BF=3FE，则[BDCD]= 。【分析】传统方式依旧可行，
初中生世界·九年级 2022年2期2022-02-16
- 三角公式的图形表示
半,知∠PCB=过点P作PA垂直于x轴, 垂足为A, 那么AP为角α的正弦线,OA为角α的余弦线.利用锐角正切的定义以及三角函数线可知注意到直径所对的圆周角∠CPB= 90°,而∠PAB=90°, 从而∠PBA在两个不同的直角三角形中的余角相等, 即∠APB= ∠PCA=同理可知角α为任意角时,同理利用正切的定义以及三角函数线也可以表示角的正切值.不妨设α为第一象限角且终边与单位圆交于点P,那么角的终边落在第一或第三象限,且与单位圆分别交于点Q、点R(图3
中学数学研究(广东) 2021年5期2021-04-21
- 2020年本刊原创题（三）
中点，连接CD，过点A作CD的垂线，分别交BC，CD于点E，F，若CD = 5，AE = [203]，则AC的值为 .2. 如图2，已知抛物线[y=ax2+bx+c]与x轴交于点A，与y轴交于点B，其中对称轴与x轴交于点C [52 ，0]，直线AB的解析式为[y=-33x+23]. 在第一象限的拋物线上取一点D，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F .（1）求抛物线的解析式.（2）是否存在点D，使得△BDF与△AEF相似？若存在，请求出点D的
初中生学习指导·中考版 2020年7期2020-09-10
- 在探究中培养学生的数学思维能力
一:(如图1) 过点B作CF的平行线交AE于点M,因为BD=DC,∠BDM=∠CDE,∠DBM=∠DCE,所以∆BDM∆CDE,所以BM=CE,又因为所以所以所以求得.解法二:(如图2) 过点B作AE的平行线交FC于点M,因为BD=DC,所以ME=CE,又因为所以所以.图2图3探索二:从点D作平行线解法三:(如图3) 过点D作AF的平行线交CF于点M,所以∆EDM∆EAF,∆CDM∆CBF.因为BD=DC,所以BF=2DM,同时有FM=MC,又因为所以所以
中学数学研究(广东) 2020年16期2020-09-05
- 首届全国高中数学联赛平面几何题的两次演变
相交于点A、B，过点B的一条直线分别交⊙O1、⊙O2于点C、D，过点B的另一条直线分别交⊙O1、⊙O2于点E、F，证明：∠ABC=∠ABF的充分必要条件是CD=EF．图3在图1的基础上，连结CF，取CF的中点I，设直线IA与⊙O1、⊙O2分别相交于不同于点A的两点G，H，连结GC、HF(见图4)，则∠CGA=∠ABC=∠ABF=∠AHF．过点C作CM⊥IA于点M，过点F作FN⊥IA于点N，注意到I是CF的中点，即知ΔCMI≌ΔFNI，故CM=FN，IM=I
中学数学研究(江西) 2020年4期2020-05-29
- 三角形费马点的再推广
情形同理可证.)过点O分别作直线EF、MN垂直的射线OG、OH，将∠MOE内部分成三个区域，即∠HOE内部，∠HOG内部，∠GOM内部，下面分三种情况：设点P是平面内任意一点，过点P作PB⊥MN，PC⊥EF，垂足分别为B，C，则S=PA+PB+PC.图2(1)当点A在∠HOE内部(如图2中阴影部分，包括边界)时，过A点作MN的垂线AQ，垂足为Q，此时AQ与EF必相交，记交点为P0，则当P点与P0重合时，S取得最小值为AQ，证明如下：S=PA+PB+PC≥P
数学通报 2020年1期2020-04-10
- Global health training in Canadian family medicine residency programmes
生17：如图5，过点D作AC、BC、MN的垂线段DR、DS、DT，由前一问的相似三角形的对应角相等可得MD、ND分别平分∠AMN和∠MNB，于是DS=DR=DT=定值．Figure 3 depicts locations for international rotations and partner sites for FM programmes. At the University of Ottawa, residents are able to pro
- 一个圆锥曲线性质的推广
0)上任意一点，过点P作PA⊥PB，PA、PB与椭圆分别交于异于点P的点A、B，则直线AB过定点推广二：点P(x0,y0)为椭圆(a＞b＞0)上任意一点，过点P作PA⊥PB，PA、PB与椭圆分别交于异于点P的点A、B，则直线AB过定点推广三：点P(x0,y0)为双曲线(a＞0,b＞0,a≠b)上任意一点，过点P作PA⊥PB，PA、PB与双曲线分别交于异于点P的点A、B，则直线AB过定点推广四：点P(x0,y0)为双曲线(a＞0,b＞0,a≠b)上任意一点，
河北理科教学研究 2020年4期2020-03-09
- 一道中考几何压轴题的多种证法与教学启示
直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.（2）当点E在直线BD上移动时，如图2、图3所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.二、思路探究三、解法探究1.关于第（1）问的解法探究思路1：利用直角，构“三垂直”.证法1：如图4，过点F作FG⊥BD于点G.所以∠EGF=∠ABE=90°，则∠BAE+∠AEB=90°.因为EF⊥EA，所以∠GEF+∠AEB=90°.所以∠BAE=∠GEF.因为BC=BD，B
中学数学杂志 2019年18期2019-09-25
- 求一般三角形面积多种方法的研究
全”：①如图1，过点A作AC//x轴交y轴于点C，过点B作BD//y轴交x轴于点D，AC与BD交于点E，∵A（1，3），B（3，1）∴OC=CE=OD=DE=3，则四边形CODE是正方形，CA=1，AE=2，BD=1，BE=2∵S?AOB=S正方形CODE-S?AOC-S_?BOD-S_?AEB②如图2，延长AB交x轴于点C，设AB所在直线为y=kx+b，把点A（1，3），B（3，1）代入y=kx+b得k=-1，b=4，∴AB所在直线是y=-x+4，∵AB
世界家苑 2019年8期2019-09-17
- 数学化归法的运用
——以“函数与角度”为例
y轴于点P，且经过点E（3，2），点F为抛物线上一点，且PF⊥PE，求点F的坐标.解题过程：过点E、F分别向y轴作垂线，交y轴于M、N两点.由PF⊥PE，得∠EPF=90°.易得△EMP △PNF.则-1-a=a2-2a-1，则a1=1，a2=0（舍去）.则点F（1，-2）.思考：学生利用垂直这个条件，得到两个角互余的相似直角三角形，从而得到线段关系，进而转化成点的坐标，最后求出结果.题目2：如图2，抛物线y=x2-4x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点
中学数学杂志 2019年14期2019-08-31
- 一道耐人寻味的面积问题*
高解法1如图2，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，过点A作AF⊥CD于点F，则∠AEB=∠AFC=90°，且因为∠EAC=∠EAB+45°=∠ACD+45°，所以∠EAB=∠ACD，从而△EAB∽△FCA，可得于是进而BE=AD.又因为S△ADB=6,所以故评注仅仅作高BE是不够的，从∠ADC=45°联想构造等腰直角三角形解决问题．图2 图3解法2如图3，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，在AE的延长线上取点F使得EF=BE，则因为∠FAC=∠
中学教研(数学) 2019年8期2019-08-19
- 探究一道中考题的解法
解法4：如图7，过点P作PD⊥AP交AC于点D.图7 根据勾股定理，得AD=3k.易知∠DPC=90°-∠APB=∠BAP=∠C.所以CD=PD=2k，所以AC=AD+CD=5k.尝试七：将尝试二中的CD⊥AP改为CD⊥AC如何？解法5：如图8，过点C作CD⊥AC交AP的延长线于点D.根据勾股定理，得AD=3k.易知∠DPC=∠APB=90°-∠PAB=90°-∠ACB=∠DCP.所以PD=CD=2k，所以PA=AD-PD=k.图8 尝试八：过点B作BD⊥
中学数学杂志 2019年10期2019-06-25
- 原来辅助线还可以这样作
个特殊角，我就想过点A作AD⊥BC于点D，将45°角和60°角放在直角三角形中，构造一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形，然而并没有解决这道问题。我又考虑取特殊值，令BP=1，求得AD=[3+32]，CD=[3-32]，发现∠ACB的大小根本不是30°、45°、60°，感觉没有任何思路。于是，我又想延长BC，过点A来作AB的垂线，同样将45°角和60°角放在直角三角形中，还是没能解决问题。第二天上午，我向数学老师请教。老师首先表扬了我，因为我看到
初中生世界·九年级 2019年4期2019-05-05
- 一道几何题的拓展与延伸
90°,EF 是过点C 的直线,AE⊥EF,BF⊥EF 垂足分别为E、F,试问线段EF 与AE、BF 之间有什么等量关系? 为什么?图1答: EF =AE+BF.理 由: 因 为∠ACB = 90°, ∠ECF = 180°, 所 以∠BCF + ∠ACE = 90°.因 为∠AEC = 90°, 所 以∠EAC +∠ACE = 90°, 所以∠EAC = ∠BCF.因为在△AEC 和△CFB 中, ∠AEC = ∠CFB = 90°, ∠EAC =∠BC
中学数学研究(广东) 2019年6期2019-04-13
- 从一道课本习题说开去
因为直线l是一条过点P且与圆O相切的直线，据此我们就会自然而然地提出下列两个问题：问题1：当点P（a，b）在圆O外时，怎样作出这样的直线l？问题2：当点P（a，b）在圆O内（异于坐标原点O）时，怎样作出这样的直线l？我们先来研究第一个问题.此时，直线l与圆O是相交的，第一步，作出以OP为直径的圆M，交圆O于A，B两点;第二步，连结A，B，所得直线AB即为l（如图1）.由于OP为圆M的直径，故连结PA，PB，OA，OB可得OA⊥PA，OB⊥PB，于是PA，P
新高考·高一数学 2018年7期2018-12-03
- 运用割补法求三角形的面积
图象上，所以解得过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，直线AC、BD交于点E（如图 1），则四边形CODE是矩形，E（3，6）.所以S△OAB=S矩形CODE-S△ACO-S△BDO-S△AEB注：本题也可以用以下两种方法求△OAB的面积：（1）S△OAB=S梯形AODE-S△BDO-S△ABE；（2）S△OAB=S梯形BOCE-S△ACO-S△ABE.解法 2 由解法 1 知A（1，6），B（3，2）.设直线AB交x轴、y轴分别于点C、D（
新课程(下) 2018年6期2018-08-08
- 第58届IMO平面几何题命题探秘
S、K，直线RT过点S，与⊙O1、⊙O2分别交于点R、T，直线HB过点K，与⊙O1、⊙O2分交于点H、B，求证：RH∥TB．延长HR到点Z，并连结SK，注意到∠ZRS=∠HKS=∠STB，即知RH∥TB．下面，让我们来看看这道经典例题是如何被卢森堡数学奥林匹克命题专家巧妙演绎为国际数学奥林匹克(IMO)平面几何试题的.1.极端化如图1，记RH所在直线为l，令点H、B分别在⊙O1、⊙O2上运动(直线HB过点K)，当点H趋近于点R并最终与点R重合时，直线l由割
中学数学研究(江西) 2018年6期2018-07-02
- 椭圆与双曲线的一个美妙性质及应用
占峰性质1 过点 的直线 与曲线 相交于A，B两点，点 ，则（1）当 时，x轴为 的平分线；（2）当 ，x轴为 的外角的平分线.证明：不妨设直线 的斜率存在，其方程为由 ，消去y 可得，直线AN，BN关于x轴对称，由此知：（1）当 时，x轴为 的平分线（如图1）；（2）当 ，x轴为 的外角的平分线（如图2）.注：在性质1中，当 时，C表示焦点在x轴上的椭圆；当 时，表示焦点在y轴上的椭圆；当 时，表示一个圆.由此便知有如下的性质2.性质2 过点 的直线 与
学校教育研究 2018年19期2018-05-14
- 对一道高考试题的分析与研究
和点（1） 若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若 ，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求 的最大值.分析：（1） 由于点M有且只有一条直线与圆O相切，所以点M在圆上.（2） 设 ，则思考1： 根据基本不等式： ，只能求 的最小值，而不能求其最大值.思考2： 根据重要不等式：，知道， 要求 的最小值，只需证明 为定值.当然，上述两个不等式中，等号成立的充要条件都是 .解：（1） 由于点M有且只有一条直线与圆O相切，
课程教育研究·新教师教学 2015年29期2017-09-27
- 圆中的一个面积关系
r>0，C≠0.过点P-ACr2，-BCr2的直线交圆K于A，B两点，分别过点A，B的两条平行线与直线l0交于点A1，B1，记△AA1P，△A1B1P，△BB1P的面积分别为S1，S2，S3，则S22=4S1S3.证明 如图所示，分别过A，B两点做直线l0的垂线，垂足分别为A2、B2，线段AB1、BA1交于点Q.设过点P的直线l的倾斜角为θ.则直线l的参数方程为x=tcosθ-ACr2，y=tcosθ-BCr2.设A（t1cosθ-ACr2，t1cosθ-
数学学习与研究 2016年17期2017-01-17
- 数学建模显捷径，一题多解求面积
———巧用模型求抛物线中的三角形面积
【建模】如图1，过点E作EF∥y轴，交AD于F；作AH⊥EF于H、DG⊥EF于G.则S△AED=S△AEF+S△DEF=×EF×AH+×EF×DG=×如图2，过点A作AF∥x轴，交DE于F；作EH⊥AF于H、DG⊥AF于G.则S△AED=S△AEF+S△ADF=×AF×EH+×AF×DG=× AF×（EH+DG）=×AF×|yD-yE|.如图3，过点E作EF⊥AD于F.则S△AED=×AD×EF.【应用】例抛物线y=ax2-2ax-4与x轴交于点A、B（A
中学数学杂志 2016年24期2016-12-28
- 小题小作 小题巧作
如图1所示,分别过点A、B作椭圆右准线的垂线段AD、BC,过点B作BE⊥AD于点E.(构造直角梯形，再分割)由椭圆的第二定义可得|AE|=|AD|-|BC=4t.解题思路 如图2所示,分别过点B、D作椭圆右准线的垂线段BH、DC,过点D作DE⊥BH于点E. (构造直角梯形，再分割)设|DF|=t,|DC|=s，由椭圆的第二定义可得解题思路 如图3，设双曲线的右准线为l,过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D.(构造直角梯形，再分割)解题思
数理化解题研究 2016年31期2016-12-16
- 高一数学测试
F,其中斜边DE过点B,且与AC平行,DF过点A,EF过点C;方案2：扩大为一个等边三角形DEF,其中DE过点B,DF过点A,EF过点C.(1)求方案1中∆DEF面积S1的值;(2)在方案2中,设∠DBA=θ,用θ表示∆DEF的边长f(θ)，并求出∆DEF面积S2的最大值.(1)当m=12时,求a2 016的值;(3)是否存在m,使S128m+3≥2 016成立,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.参考答案一、填空题5. 9;6.9;7.两解;8.4
高中数学教与学 2016年13期2016-07-07
- 平移在数学解题中的妙用——由一道中考压轴题的解法联想到
图4，中线倍长：过点A作AH⊥AD交BD延长线于点H.证△ADH≌△ODB，得BO=AH.因为BO⊥AO，所以AH∥BO.图4图5方法二：如图5，过点C作CG∥AO交BD于点G，因为AD=OD，思路点拨：本题所要求的结论是线段比值，问题一定要转化为相似或平行线分线段定理，以下用6种方法解答问题（2）.方法一：设AD=a，则AO=BO=4a.如图6，过点A作AH∥BD且BH∥AO，连接CH，则四边形ADBH为平行四边形.图6所以△BHC∽△OCA，所以∠1=
中学数学杂志 2016年4期2016-04-13
- 一道高考试题的解题分析
张同语等题目设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0这是2014年高考数学安徽卷理科第14题，通过调查，我校不少考生对该题都是采用如下的解法. 题目设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0这是2014年高考数学安徽卷理科第14题，通过调查，我校不少考生对该题都是采用如下的解法. 题目设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0这是
中学生理科应试 2014年12期2015-01-15
- 证明三角形角平分线定理的六法
造平行线法如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE∴AC=AE ∴二、构造相似三角形法如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴三、面积法如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F
读写算·教研版 2014年20期2014-12-03
- 圆锥曲线中相交弦的有关性质
的弦AB，CD,过点A,B分别作椭圆的切线交于点M,过点C,D分别作椭圆的切线交于点N,则MN∥PQ.笔者借助几何画板研究，发现在圆锥曲线中相交弦的有关性质，下面一一介绍.思考1定理1中“O′为弦PQ的中点”的条件可否一般化？经过笔者研究，知该条件无法一般化，但可以得到进一步的结论：图1性质1如图1,PQ是椭圆的非对称轴的弦,O′为弦PQ上一点，过点O′作2条与PQ不重合的弦AB，CD,过点A,B分别作椭圆的切线交于点M,过点C,D分别作椭圆的切线交于点N
中学教研(数学) 2013年5期2013-10-26
- 从不同视角探求一道课本习题中“视角”的最值问题
视角1 如图2，过点C垂直于AB的直线记为DE(D为垂足).当DE与过点A，B的圆相切时，切点记为C，此时∠ACB=∠α最大.事实上，观察图2，易得无论点C是前行还是后退到点C'，过点A，B，C'的圆必与直线DE相交，此时∠AC'B必小于圆内的∠α.当DE与过点A，B，C的圆相切且切点为C时，由切割线定理得图2视角2 (借助于两角差的正切公式求tan∠ACB的最大值)图3视角3 (借助于正弦定理求sin∠ACB的最大值)由视角2可得视角4 (借助于余弦定理
中学教研(数学) 2013年1期2013-08-27
- 关于t－blocking集合的一个新下界＊
其中P∈K，L为过点P的直线.引理1 设K为PG（2，q）中的一个t－blocking集合，ti如上所示，则证 我们通过2种不同的方法来计算所有符合条件的二元数组（P，L）的个数.因为PG（2，q）中任意一条直线Li上有ti个点是属于K中的，即它确定了ti个不同的二元数组，而在PG（2，q）中共有q2＋q＋1条直线，所以所有符合条件的另外也可用过点P的直线的条数来计算这些二元数组的个数.因为过点P的直线有q＋1条，即这一点确定了q＋1个二元数组，而K中点的
湖南大学学报（自然科学版） 2013年2期2013-03-19
- 龙凤曲线切线的几个有趣性质
圆交于点A,B，过点M的直线l2与双曲线交于点C,D(如图1)，过点A，B作龙曲线的2条切线交于点P，过点C，D作凤曲线的2条切线交于点Q，则PQ⊥x轴.图1证明如图1所示，设A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2)，则过点A,B的切线方程为解得点P的坐标为从而由kAM=kBM得化简得则又设C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),则过点C,D的凤曲线的2条切线方程分别为由kCM=kDM得化简得则因此xP
中学教研(数学) 2011年5期2011-11-21
- 平面几何中“+=”型问题的新证法
B于点E.证明 过点B作BF∥DE与AD的延长线相交于点F，因为DE∥AC，所以BF∥AC，于是∠F=∠CAD，又因为例2 如图3，已知∠POR=120°，OQ 平分∠POR，直线 l分别交 OP，OQ，OR 于 A，B，C.图3证明 延长AO至点D使OD=OC，延长 CO至点 E使OE=OA，连接 CD，AE.易知△OCD，△OAE均为正三角形，故得CD∥OB∥AE.例3 如图4，在 Rt△ABC中，⊙O的圆心在斜边AB上，直角边 AC，BC分别切半圆于
中学数学杂志 2011年12期2011-02-01
- 三角形与三棱锥的两个性质命题的逆命题
λ3都是正实数，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B撸〢N=y〢C命题2 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D笔者进一步研究后发现上述两个命题的逆命题也成立，现将其叙述并证明如下.命题3 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B证明：∵M、N、P三点共线(A不在直线MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y
中学数学研究 2008年2期2008-12-10