三角形与三棱锥的两个性质命题的逆命题

王本民

文［1］讨论了三角形的一个向量性质并将其推广到三棱锥中.

命题1 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，若│霜1㏄A擢+λ2㏄B+λ3㏄C=0,λ1，λ2，λ3都是正实数，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B撸〢N=y〢C

命题2 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D

笔者进一步研究后发现上述两个命题的逆命题也成立，现将其叙述并证明如下.

命题3 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B

证明：∵M、N、P三点共线(A不在直线MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y〢C撸(且μ1+μ2=1) ①

=0.故命题成立.

命题4 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，过点P作平面与AB、AC、AD三边分别交于M、N、K三点，且

故命题成立.

显然，由上述命题及证明可以得到如下两个“充要性”的命题：

命题5 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B

命题6 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，过点P作平面与AB、AC、AD三边分别交于M、N、K三点，且

参考文献

［1］田富德.三角形的一个向量性质及其空间拓广.数学通讯.2007(13).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”