例谈算法思想在中学数学中的渗透

赵　军

算法是数学内容以及数学思想方法的重要组成部分，也是计算机应用的重要基础.在信息技术高度发达的现代社会，算法思想应该是公民具备的科学素养之一.作为《新课程标准》增加的新内容，算法走进了中学数学.在中学数学课程的学习中，除了要让学生了解算法的基本含义和学习基本算法语句，更重要的是让学生体会和应用算法思想，特别是要做好算法思想在整个中学数学中的渗透.

1.算法进入了中学数学

1.1 中学数学中的算法概念

“算法”属于逻辑数学的一个基本概念，不能用更简单的概念来给它正式下定义，只能像其他数学范畴一样，直接从经验中抽象出来.《新课标》中提出“通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义”，学生“通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程”，“经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句”.中学阶段，要让学生能够感受到，算法是指完成一个任务准确而完整的描述，算法是确定计算过程，从可变的初始数据导出所要求的答案的准确指令.中学数学中介绍了算法的基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，理论上任何复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现.中学数学还介绍了算法的主要描述方法：自然语言、程序框图和程序语句，其中程序框图使学生认识算法步骤式更直观和更准确.三种基本逻辑结构与程序框图是学习算法的重点.

1.2 中学数学中的算法思想

《新课标》中指出“算法是高中数学课程中新内容，其思想是非常重要的，但并不神秘”，其实在小学数学中，就出现了加法算法、减法算法，以及求最大公约数等等这样一些简单的算法.在中学数学中设置算法的学习，其目的除了要求中学生进一步学习必要的算法知识外，更重要的目的是让学生理解和提炼算法思想.《新课标》明确提出“本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力.不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计”，因此要抓住“算法思想”这条主线，重点培养学生利用算法来解决问题的思想意识.

算法思想虽然没有一个明确的定义，但是在中学数学中，我们可以认为算法思想就是指把某些或某类数学问题的解题步骤或解题过程“程序化”、“机械化”的思想方法，也就是解题的每一个步骤是“明确”的，整个解题过程是“通用”的，甚至是“机械”的.比如：

例1：解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，我们的解题过程可以设置为如下“程序”：

当然，理解好中学数学中的算法思想，首先要理解数学“机械化”的重要意义，吴文俊强调“数学机械化方法的应用，是数学机械化研究的生命线”.以算法为核心的“机械化”思想，体现了数学的通用化、机械化和程序化思想，可以化难为易，化繁为简，为各类实际问题的解决提供框架.在当今信息时代，脑力劳动的机械化已经成为提高生产力水平的重要手段.其次必须理解算法思想的基本特征：一是解题步骤的确定性，每一步骤的描述必须是确定的，不能产生歧义；二是解题步骤的有穷性，问题必须在有限的步骤内解决完成，过于繁多的步骤没有实际意义；三是解题步骤的可行性，每一个解题步骤要确保能够操作；四是解题结果的完成性，严格执行解题步骤，最后确保有结果输出.

2.将算法思想渗透在中学数学中

在中学数学课程中，许多数学问题都蕴含了丰富的算法思想.《新课标》明确提出“算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题”.可见，注重算法思想与中学数学课程的整合，将算法思想渗透在中学数学课程中，鼓励学生运用算法思想解决相关问题，是中学教师和学生应该积极探索的一个课题.

2.1 在数学基本概念和公式的学习中渗透算法思想

公式是指用数学符号表示各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子，在中学数学教材上明确给出了许多数学公式，比如数列求和公式、排列组合公式、三角公式、距离公式、夹角公式、面积和体积公式、求期望和方差的公式以及直线位置关系的判断公式等等.数学公式本身就是一种算法，输入已知量，由公式能够直接而迅速的得到待求的量.除此以外，某些数学概念定理也可以发掘出算法思想.以一个周期函数求函数值为例：

例2：已知函数f(x)在R上是偶函数，且其周期为2，当x∈［1，2］时，f(x)=2-x，则ゝ(-2003.5)的值为().

A.0.5 B.1 C.-1 D.-1.5

分析：本题可以将问题的解决设计为算法过程：

从上可以看出，我们用到了循环累加x=x+2和累减x=x-2，也许看起来这种累加或累减显得过于麻烦，但是它形象地刻画了周期函数，并且这种重复单调的事对计算机来说显得简单.我们用算法的思想去认识数学中的概念和公式，除了一方面在数学基本概念和公式的学习中，适时渗透算法思想，另一方面还应该用算法思想去认识数学中的许多公式、定理和概念.

2.2 在典型案例的解法中渗透算法思想

中学数学中有许多具有典型性和实用性算法案例，比如《算法》这一章所列举的二元一次方程组的解法、二分法求方程的近似解、阶乘以及数列求和等等都是生动有趣的算法例子.在中学数学的学习中，我们要细心的去发现和利用好这样一些案例，并以此为生动的载体，帮助学生进一步理解算法的本质，体会算法思想.比如蒙特卡罗方法的使用.

例3：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少?

分析：这是一个概率问题，如果运用蒙特卡罗(玀onte Carlo)方法，即计算机随机模拟方法来解决这个问题，其算法可以设计为：设共做n次独立试验，被模拟的事件发生了m次.

用蒙特卡罗方法(即计算机随机模拟方法)来解决实际问题，是信息技术与数学方法服务生产实践的一个典型方法.上述算法给出了用计算机随机模拟方法来解决实际问题的一般过程，有普遍的代表性.

2.3 在同类问题解题策略中渗透算法思想

中学数学中有许多问题在解决思路和方法上具有很强的共性，并且其解题过程的“步骤性”也很明显.我们可以将这些问题归类，将解题过程有“条理性”的表达出来，设计通用的“算法”，整个“算法”过程的设计要按照一定的步骤、一定的思维方式进行.当遇到同类问题时能够立刻套用，提高问题解决速度，同时可以通过这种“算法”的设计和掌握来培养学生做事的条理性和规范性.

例4 (07年全国高考文科试题)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2 时取得极值.

(1)求a、b的值；

(2)若对于任意的x∈［0，3］，都有f(x)

分析：用导数法讨论三次函数的性质，是高中数学中常见的题型，其解法“步骤性”很强，可以将算法归纳如下：

这里特别要注意的是要搞清解法与算法的联系和区别：算法与解法都是解决数学问题的程序和步骤，但是算法是针对某一类问题，而解法是针对某一个问题，算法较解法具有更强的代表性和普遍性.算法以解法为基础，在其基础上归纳出解决某一类问题的程序或步骤.

算法思想在中学数学中的渗透，还可以通过解决实际问题、阅读数学文献以及通过与信息技术的整合等等方法来实现和加强.算法对中学数学来说是初次引入，如何把握知识的标 高，特别是如何在整个中学数学的教学中和知识体系中渗透算法思想，对广大数学教育工作者来说，还需要作进一步的深入探索.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验稿)［M］.北京：北京师范大学出版社.2003，6.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”