一个优美不等式的推广及证明

王明建　杨国增

文［1］给出了一对非常优美的姐妹不等式：

设a、b、c都是正数，且a+b+c=1，则有

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3 (1)

(1b+c+a)(1c+a+b)(1a+b+c)≥(116)3 (2)

当且仅当a=b=c=13时取等号.

文［2］给出了(1)的一个简捷证明，本文把(1)推广到更一般地情形：

设a璱(i=1,2,…，n)都是正数，且∑ni=1a璱=1，则有∏ni=1(11-a璱-a璱)≥(1+1n(n-1))琻 (3)

当且仅当a1=a2=…=a璶=1n时取等号.

证明：设a2+a3+…+a﹏-1+a璶=x1,a3+a4+…+a璶+a1=x2,…，a1+a2+…+a﹏-1=x璶,则易知∑ni=1x璱=n-1,及1-a1=x1,1-a2=x2,…，1-a璶=x璶,由均值不等式有11-a璱-a璱=1x璱+x璱-1=(n-1)2n2x璱+x璱-1+2n-1n2x璱≥2n-1n2x璱+n-2n,

当且仅当x璱=n-1n,即a璱=1n(i=1,2,…，n)时取等号.

再利用乘积型玀inkowski不等式［3］和均值不等式得

∏ni=1(11-a璱-a璱)≥2n-1n2n∏ni=1x璱+n-2n琻

≥2n-1n∑ni=1x璱+n-2n琻=(2n-1n(n+1)+n-2n)琻

=(n2-n+1n(n-1))琻=(1+1n(n-1))琻.

当且仅当a1=a2=…=a璶=1n时取等号.

显然，(1)是(3)当n=3时的特例.

对于不等式(2)的推广，我们还没有获得，期盼能早日见刊.

参考文献

［1］魏烈斌.不等式中的一对姐妹花［J］.数学通讯.湖北.2007，(5).

［2］赵恩林，潘超.一个不等式的简捷证明［J］.中学数学研究.江西.2007，(10).P12-13.

［3］匡继昌.常用不等式［M］.山东科学技术出版社.山东.2004，(1).P10-11.

［4］朱华伟.一道数学奥林匹克问题的解法探讨［J］.数学通报.2001，(7).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”