一道２００７北方数学奥林匹克试题的推广

邹守文

2007第三届北方数学奥林匹克第8题为

设△ABC的内切圆半径为1，三边长BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整数，求证：△ABC为直角三角形.

文［1］中刘康宁先生指出，该题曾刊登于《数学教学》2000年第1期“数学问题”栏.其实该题曾作为1988年四川省赛题［2］，笔者在文［2］中给出下面的问题：

求所有满足条件的三角形的三边长：(1)三角形的三边长为整数；(2)三角形的内切圆半径为2.

上述两题分别等价于：

△ABC的周长是面积的2倍和△ABC的周长等于面积.

下面给出此类问题的一般性结论有：

求满足下列条件的三角形的三边长：(1)三边长是整数；(2)周长是面积的整数倍.

解：设三角形的三边长为a,b,c，周长是面积的k(k为整数)倍，由海伦公式，知

a+b+c=k•a+b+c2•a+b-c2•b+c-a2•c+a-b2,则4•a+b+c2=k2•b+c-a2•c+a-b2•a+b-c2①

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”