平面直角坐标系中求三角形面积的方法探究

欧利

【摘要】 本文主要是研究在平面直角坐标系的不同位置类型的三角形面积求法探讨，最后总结出宽高公式法的用法.

【关键词】 三角形面积;宽高公式法

平面直角坐标系中三角形的面积问题一直是中考常考题型，运用适当的面积求法会事半功倍.今天将根据三角形在平面直角坐标系中的不同位置探讨三角形的面积方法.

类型1 三角形的两边都在坐标轴上

如图1，点A在x轴上，点B在y轴上，则

S△AOB=12·OA·OB.

类型2 三角形的一边在坐标轴上

如图2，3，B，C在x轴上，则

S△ABC=12·BC·AD=12·BC·|yA|.

类型3 三角形有一边平行于坐标轴

如图4，5，AB∥y轴，则

S△ABC=12·AB·CD=12·AB·|xA-xC|.

注 类型一、二、三中的三角形至少有一条边在坐标轴上或者平行于坐标轴，求面积时只需要将这条边作为底边即可.

下面将主要探讨三角形中三条边均不在坐标轴上或均不与坐标轴平行的情形（为了方便，下面所有三角形均在第一象限讨论）.

如图6，求△ABC的面积.

下面将从割补思想来讨论.

补思想：

方法1 如图7，过点B作BM∥x轴交CA的延长线于点M，则

S△ABC=S△BMC-S△BMA

=12·BM·CE-12·BM·AD

=12·BM·CN

=12·BM·|yC-yA|.

或如图8，过点A作AM∥y轴交CB的延长线于点M，则

S△ABC=S△AMC-S△AMB

=12·AM·CD-12·AM·BE

=12·AM·CN

=12·AM·|xC-xB|.

方法2补成一个梯形

如图9，分别过点A，C作x轴的垂线与过点B且平行于x轴的直线交于点M，N，则四边形AMNC为梯形，则S△ABC=S梯形AMNC-S△AMB-S△BNC

=12·（AM+CN）·MN-12·BM·AM-12·BN·CN.

也可以补成一个矩形，如图10，则

S△ABC=S矩形CDMN-S△AMB-S△BNC-S△ACD

=DM·MN-12·BM·AM-12·BN·CN-

12·AD·CD.

方法3 平行线法

3

如图13，如果已知直线AC解析式，则过点B作直线平行直线AC，交过点A且平行y轴的直线于点D，则S△ABC=S△ADC，因为△ADC有一条边平行坐标轴，问题就转化成类型3.

除此之外，还可以用分割的方法.

如图12，过点B作BM∥y轴交AC于点M，则

S△ABC=S△BMA+S△BMC

=12·BM·AE+12·BM·CD

=12·BM·|xC-xA|.

一般地，图12中BM称为△ABC的铅垂高，|xC-xA|称为△ABC的水平宽.或者如下图13，过点A作AN∥x轴交BC于点N，则

S△ABC=S△ANB+S△ANC

=12·AN·BD+12·AN·CE

=12·AN·|yC-yB|.

2图13

其图中|yC-yB|称为△ABC的铅垂高，AN称为△ABC的水平宽.

上面用分割思想求的三角形面积方法，我们一般称为“宽高公式法”，即三角形的面积S=12×水平宽×铅垂高.

宽高公式法对于任意三角形都是适合的，这也大大缩短了三角形面积问题的思考时间，只需过三角形一个顶点作平行于x轴或y轴的直线就可以实现.

4

如图14，过点A作x轴的平行线交直线BC于点E，过点B作与x轴平行的直线与过点C作y轴平行的直线相交，交点为D，则

S△ABC=12·AE·CD

=12·AE·|yC-yB|.

或者如圖15，过点B作y轴的平行线交直线AC于点M，过点C作与x轴平行的直线与过点A作y轴平行的直线相交，交点为D，则

S△ABC=12·BM·CD=12·BM·|xA-xC|.

5图16

或者如图16，过点C作y轴的平行线交直线AB延长线于点M，过点A作与x轴平行的直线与过点B作与y轴平行的直线相交，交点为F，则

S△ABC=12·CM·AF=12·CM·|xA-xB|.