解答任意四边形问题的四种作辅助线的技巧

杨再发

1 已知四边形四边长，且有一个角是直角，用连接对角线法

例1 如图1，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.

解 连接AC，

在△ABC中，因为

∠B=90°，BC=3，AB=4，

所以AC=AB2+BC2=42+32=5，

所以S△ABC=12AB×BC=12×4×3=6，

因为AD=13，CD=12，

因为132=122+52，

所以AD2=AC2+CD2，

所以△ACD是直角三角形，

且∠ACD=90°，

则S△ACD=12AC×DC=12×5×12=30，

所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36.

例2 如图2，在四边形ABCD中，AB=26，BC=24，CD=6，AD=8，∠ADC=90°，求四边形ABCD的面积.

解 连接AC.

在△ADC中，因为

∠ADC=90°，AD=8，CD=6，

所以由勾股定理得AC=10，

S△ACD=12AD×CD=12×8×6=24，

因为AB=26，BC=24，

262=242+102，

所以AB2=AC2+BC2，

所以△ACB是直角三角形，

且∠ACB=90°，

所以S△ACB=12AC×BC=12×10×24=120，

则S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD=120-24=96.

例3 如图3，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠B=90°，求∠DAB的度数.

解 连接AC，

因为AB∶BC∶CD∶DA

=2∶2∶3∶1，

设AB=BC=2x，

由CD=3x，AD=x.

因为∠B=90°，

所以∠BAC=∠BCA=45°，

由勾股定理得

AC=22x，

因为（3x）2=（22x）2+x2，

所以CD2=AC2+AD2，

即△CAD是直角三角形，

且∠DAC=90°，

所以∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°.

2 分别延长对边法

例4 图4

如图4，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形的面积.

解 分别延长AD，BC交于点E，

因为∠A=60°，∠B=∠D=90°，

所以∠E=30°，∠CDE=90°，

因为AB=2，CD=1，

所以AE=4，CE=2，

由勾股定理得

DE=CD2-CD2=22-12=3，

BE=AE2-AB2=42-22=23，

所以S△ABE=12BE×AB=12×2×23=23，

S△CDE=12CD×DE=12×1×3=32，

所以S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=23-32=332.

例5 如图5，在四边形ABCD中，∠ABC与∠DCB互余，求证：BD2+AC2=AD2+BC2.

解 分别延长BA，CD交于点E，

因为∠ABC与∠DCB互余，

所以∠E=90°，

即△BEC，△EAD，△BDE，△CAE是直角三角形，

即BD2=BE2+DE2，

AC2=CE2+AE2，

所以BD2+AC2=（BE2+CE2）+（DE2+AE2），

因为AD2=AE2+DE2，

BC2=BE2+CE2，

所以BD2+AC2=AD2+BC2.

3 既延长对边又连接对角线法

例6 图6

如图6，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，求AD的长.

解 分别延长AD，BC交于点E，连接AC，

因为∠B=90°，

∠DAB=60°，

所以∠E=30°，

又因为∠ADC=90°，

所以∠CDE=90°，

因为CD=2，

所以CE=4，AE=2AB，

所以DE=CE2-CD2=42-22=23，

因为BC=1，

所以BE=5，

因为AE2=AB2+BE2，

所以4AB2=AB2+52，

AB=533，

因为AC2=AB2+BC2，

AC2=AD2+CD2，

所以AD2=AB2+BC2-CD2

=5332+12-22，

AC=433.

4 借特殊角構成特殊的直角三角形

例7 图7

如图7，在四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=2，BC=3-3，CD=23，求AD的长.

解 过点A作AE⊥CB的延长线于点E，过点D作DF⊥BC的延长线于点F，过点A作AG⊥DF于点G，

所以四边形AEFG是矩形，

所以EF=AG，

因为∠ABC=135°，∠BCD=120°，

所以∠ABE=45°，∠DCF=60°，

则∠ABE=∠BAE=45°，

∠CDF=30°，

因为AB=2，

BC=3-3，CD=23，

由勾股定理得

CF=3，BE=AE=1，DF=3，

所以EF=AG=BE+BC+CF

=1+3-3+3=4，

DG=DF-FG=DF-AE=3-1=2，

由勾股定理得

AD=AG2+DG2=42+22=25.