初中数学培养建模思想的实践与探索

廖永宗

【摘要】纵观当前学科，建模思想廣泛应用，其中数学学科也在解题教学中通过应用建模思想引领学生走出困惑，提升解题效率.所谓建模思想即运用模型提炼题目重要信息并在此基础上结合相关数学建模知识针对重要信息建立模型，随即高效解答相关问题.和其它解题方式相比，建模思想具有显著优势，能较好地简化复杂知识，促使学生增强灵活运用知识分析和解决问题的能力，更能较好地锻炼思维能力，对学生未来学习和发展有着重要现实意义.对此，本文则从多方面分析在初中数学培养学生建模思想的策略，望给予相关研究者提供参考.

【关键词】初中数学;建模思想;培养策略

数学是一门集抽象性与逻辑性于一体的学科，涉及较多公式和定理，再加上知识点零散且繁多，要求学生具备较强的逻辑思维能力和判断能力，正因如此，学生在理解和学习时不可避免会出现困难.同时，学生因多种因素影响，在解答数学题目过程中经常会出现思维混乱、粗心大意以及好费时间较长等现象，凸显为学生传授正确且高效解题技巧的必要性和重要性.建模思想能帮助学生在充分理解题目实质的同时梳理解题思路，提升解题效率与数学学习自信心，更对未来数学学习有着重要现实意义.

1 影响初中数学建模思想培养原因

作为一种全新学习方式，建模思想为学生自主探究知识提供空间.与此同时，数学建模教学也是教师和学生相互作用并持续沟通交流的过程.培养学生建模思想并非单纯地叠加内外部知识，因为学生在建模学习中会遇到各种困难，多数初中生数学基础知识水平和思维逻辑能力大致相同，故而，可从教师和学生层面分析影响初中数学建模思想培养原因.

1.1 教师因素

1.1.1 教学方式单一

随着新课程改革全面实施，很多学科教师均改革和创新教学方式，从传统灌输式教学转为启发式教学.然而未彻底改革，教师在接触新事物和概念时直接传输至学生，忽视学生自主探究，课堂教学效率偏低.

1.1.2 知识储备不足

前几年初高中数学教材并未较多地涉及数学建模，很多数学教师都是在学生时期才接触建模知识，只有部分教师学习建模理论知识.尤其对运用建模思想解题方面并未融入自身理解，以致于建模教学深度不足.

1.2 学生因素

1.2.1 缺乏自信心

事实上，数学建模是一种创造性极强的活动，学生在解决问题中可能会出现难以把握建模方向和思路受阻等问题.若学生具备较强的心理素质，那么就能持续探究和学习.相关调查研究指出，大部分学生对数学建模方法较为感兴趣，然而在分析和解决实际问题时因题干较长且不了解题目实际背景，不知解题方向，故而缺乏学习自信心.所以，数学教师可选取简单应用题使学生获取学习成功体验，树立学习自信心，为后续解决更为复杂和高难度问题做好铺垫.

1.2.2 缺乏信息提炼技巧

数学建模最为重要的步骤即将现实问题转化为数学问题.纵观传统数学问题，语言高度凝练，数据简单，为了便于解题给出假设、图形以及相关公式、概念，尤其部分复杂题目，以表格形式呈现复杂关系，学生对题目涉及数量和关系一目了然.再加上数学建模题目多描述现实生活生产情况，文字信息量大且数量关系相对复杂.学生只有有取舍地提炼相关信息才能理解题目.但多数学生因缺乏社会和生活经验，阅读理解能力相对薄弱，未明确不同量关系，难以整合信息，以致于在解题中频频出现问题.

2 在初中数学培养学生建模思想策略

2.1 贯彻循序渐进原则 提升学生学习自信

相关教育心理学认为，当人拥有成功经验后会雄心勃勃，意气风发，反之，失败经验则会打击自信.初中数学教师针对学生对建模思想学习缺乏自信心的现状时可精心选择实际问题，紧贴学生现实生活且趣味性极强的问题，引领学生在此类问题中建立简单模型，为后续分析和解决更为复杂问题做好铺垫.

例1 教师在讲解方程知识后为学生呈现以下问题：某款热销童装标价为150元，正值六一儿童节，店家为吸引客源决定打折销售，每件衣服打8折后仍可获利20%，请问该童装进货价？

解析 毫无疑问，上述题目涉及方程知识，阅读题目后提取以下关键信息：售价：150元，其中售价为标价的80%，利润率为20%，随即建立等量关系：（售价-进价）/进价=利润率，再设未知数后列方程，即设该童装进货价为x元，转化问题后求方程：150×0.8-xx=20%的解，最后解得x=100元.

对于初中生而言，打折销售是生活中常见的情况，普遍较为感兴趣.部分学生可能不太了解利润和利润的概念.数学教师可让学生提前查阅相关资料对利润和利润率概念进行探索，此方式效率远远高于传统死记硬背公式方式.当学生成功运用模型思想解题后就会树立自信心，教师可进一步深化题目.

例2 某精细化工厂在购买原材料时以80元/箱购入60箱材料，所购材料分别应用于1号和2号生产染色剂车间.其中1号车间运用每箱原材料可生产出12千克染色剂，耗水4吨;2号车间则在生产过程中运用节能技术，减少耗水量近50%，但染色剂产出率则比1号车间少2kg.已知染色剂售价30元/kg，其中生产成本中，水费为5元/t.工厂为了响应国家提出的绿色节能理念，要求所有车间总用水在200t内，请问，该化工程如何在保证用水不超标的前提下实现利润最大化，最大获利为多少？

解析 虽然上述题目和例1相比较为复杂，但学生具备解答例1时成功建立模型经验，依旧可顺利梳理题目中重要量关系.再加上在解答例1时已理解利润和利润率，该题解答重点为利润=产品总售价-原材料购买成本-水费.设1号车间运用x箱原材料，工厂共购入60箱原料，那么2号车间运用（60-x）箱原材料，从条件可得知，1号车间耗水量为4x吨，2号车间耗水量为2（60-x）吨，1号与2号车间产品总产量分别为12x千克与10（60-x）千克，两个车间染色剂总售价为300（60[12x+1-x）]元，由此一来就可运用含有x的式子表示所有变量，有效处理信息.设最大利润为w，即w=30[12x+10（60-x）]-80×60-5[4x+2（60-x）]=50x+12600，化工厂为响应节能减排目标，要求生产总用水在200t内，那么为4x+2（60-x）≤200，确定x范围后，x≤40，随x增大，w也在增大，当x=40时，w取最大值为14600元.

上述案例难度大于案例1，学生有了建模经验后自信心大幅度提升，根据建模步骤整理信息，再建立模型后得出答案.数学教师在此过程中可给予适当点拨和引导，由学生独立完成运用含x式子表示其他变量，提升学生学习质量.

2.2 紧抓重点转化问题 简化理解分析难度

通常建模需较长文字篇幅叙述，尤其部分建模题涵盖较多学生未听过的专业术语，数学教师需指导学生紧抓重点转化问题，简化理解难度，提升教学效率.与此同时，数学教师在教学过程中需引导学生分析原始问题并紧抓其中的主要因素，忽略对问题结果影响较小或基本没有影响的次要因素.与此同时，在正确分析原始问题基础上需引导学生寻找问题与数学模型之间的关系，最后再将问题转化至数学模型，提高解题效率.一般初中生在解答数学问题时会将很多地精力投入至分析问题和结合用问题提供条件转化至数学关系上，很少重视将数学计算将结果带入最初问题中进行讨论与检验这一步，从而长期在学习中过于依赖教师，依旧不理解未做过的问题.对此，教师在教学中应指导学生将重点倾向于问题模型.

例如 借助表格提取信息;借助表格梳理复杂数量关系或数量间有紧密关联的建模题目，为迅速建模做好铺垫.例如以下题目：某城市公交车具有宇通和金龙两种类型客车，其中宇通客车可载客30人，租金280元/辆，金龙载客45人，租金400/辆.某学校根据自身实际情况计划租赁5辆两类客车送师生前往某基地参与实践活动.请问如果保证车费不超1900元前提下可租多少辆金龙客车？若保证车牌不超1900元，师生共有195人，可设计出哪几种可行租车方案？是否能设计最为省钱的租车方案？上述题目条件分散且多，较易混淆，可运用表格表示数量关系

解析 从上述表格中得知租金总数为400x+280（5-x），如果使租车费用在1900元内，即400x+280（5-x）≤1900，得x≤416，所以x最大值为4.从上述解析可得知，x≤416，x可能取值为0、1、2、3、4.随即运用模型检验：

①宇通客车5辆，金龙客车0辆，车费：400×0+280×5=1400元，但载客量为45×0+30×5=150<195，不符题意，故舍去.

②宇通客车4辆，金龙客车1辆，车费为400×1+280×4=1520元，然而载客量为45×1+30×4=165<195，不符题意，故舍去.

③金龙客车 2 辆，宇通客车 3 辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，载客量为45×2+30×3=180<195，不符题意，故舍去.

④宇通客车2量，金龙客车3量，车费为400×3+280×2=1760元，载客量为45×3+30×2=195=195，符合题目要求.

⑤宇通客车1辆，金龙客车4辆，车费为400×4+280×1=1880元，载客量为45×4+30×1=210元，符合题目要求.上述与题目要求相符的只有④与⑤，最为节省的租车方案为宇通客车2辆，金龙客车3辆.

3 结语

总之，数学是一门强调思维的学科，该学科核心即培养学生思维能力.在初中数学过程中应用建模思想能拓宽学生思维和眼界，形成清晰的解题和学习思路，提升解题效率和正确性.与此同时，巧用建模思想能深化学生对所学数学知识的理解和记忆，增强学生的归纳总结和创新能力，实现预期教育教学目标.教师在应用建模思想时应注重考虑学生学情与学科特征，最大限度发挥建模思想优势作用，引领学生梳理学习思路，提升学习效率和学科教学质量.

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