对一道高考试题的分析与研究

任凤琦

【中图分类号】G633.6

已知圆： 和点

（1） 若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；

（2）若 ，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求 的最大值.

分析：

（1） 由于点M有且只有一条直线与圆O相切，所以点M在圆上.

（2） 设 ，则

思考1： 根据基本不等式： ，只能求 的最小值，而不能求其最大值.

思考2： 根据重要不等式：

，

知道， 要求 的最小值，只需证明 为定值.当然，上述两个不等式中，等号成立的充要条件都是 .

解：（1） 由于点M有且只有一条直线与圆O相切，所以点M在圆上.

当 时，切线方程为：

当 时，切线方程为：

（2） 方法1（幾何法）：分别作 ，垂足为E、F，设 则 .

当且仅当 时， 取到最大值 .

方法2（代数法）：

①当AC垂直于x轴时， BD垂直于y轴， 此时，

②设直线AC的方程为：

由 ，得

设 ，则 .

.

设直线BD的方程为： 只要把 表达式中的k替换为 ，就得到 .

当且仅当 时， 取到最大值 .

综合①②，显然， 当且仅当 时， 取到最大值 .endprint