求一般三角形面积多种方法的研究

张雅玲 李响

在初中阶段会遇到求各种形状的面积，这些形状都不是特殊的（或不容易求出的）。于是我们需要把图形补成规则的图形或者切割成规则（或比较容易）的图形来解决。下面我主要以最简单的三角形为例来总结方法。

例1：如图，直线y=3x与双曲线 （k≠0，且x>0）交于点A，点A的横坐标是1。

（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；

（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，

连接OB，AB，求△AOB的面积。

解（1）∵点A在直线y=3x上，点A的横坐标是1，

∴把x=1代入y=3x得y=3，即A的坐标是（1，3）；

∵点A（1，3）在双曲线 上，

∴把点A（1，3）代入 得k=3，即双曲线的解析式是 。

（2）∵点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，

∴把y=1代入 得x=3，即B（3，1）。

本题中，我们主要研究第二问求△AOB的面积。

第一种方法“补全”：

①如图1，过点A作AC//x轴交y轴于点C，过点B作BD//y轴交x轴于点D，

AC与BD交于点E，

∵A（1，3），B（3，1）

∴OC=CE=OD=DE=3，则四边形CODE是正方形，

CA=1，AE=2，BD=1，BE=2

∵S?AOB=S正方形CODE-S?AOC-S_?BOD-S_?AEB

②如图2，延长AB交x轴于点C，

设AB所在直线为y=kx+b，

把点A（1，3），B（3，1）代入y=kx+b得k=-1，b=4，

∴AB所在直线是y=-x+4，

∵AB直线与x轴交于点C，∴令y=0则x=4即C（4，0），∴OC=4，

∵S?AOB=S?AOC-S?BOC

③如图3，延长AB交x轴于点C，交y轴于点D，

设AB所在直线为y=kx+b，

把点A（1，3），B（3，1）代入y=kx+b得k=-1，b=4，

∴AB所在直线是y=-x+4，

令x=0，則y=4即D（0，4），令y=0，则x=4即C（4，0）

∵S?AOB=S?COD-S?AOD-S?BOC

第二种方法“切割”：

如图4，过点A作AC⊥x轴交OB于点D，过点B作BE⊥x轴，过点B作BF⊥AC于点F，

则四边形BECF是矩形，∴BF=CE，OE=3，

设OB所在直线为y=kx，

把点B（3，1）代入y=kx得 ，∴OB所在直线是 ，

∵AC⊥x轴交OB于点D，A（1，3），∴点D的横坐标是1，

∴把xD=1代入 得yD= ，即D（1， ），∴

∵ ，BF=CE

第三种方法“转化”：

如图5，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，

则AC//BD，则四边形ACDB是梯形，

由反比例函数的几何意义可知S?AOC=S?BOD

∵S四边形AODB=S?AOC+S梯形ACDB，S四边形AODB=SAOB+S?BOD

∴S?AOB=S梯形ACDB

∵A（1，3），B（3，1）∴AC=3，BD=1，CD=2，

∴

第四种方法“两点之间距离”：

如图6，过点O作OC⊥AB于点C，

①∵A（1，3），B（3，1），∴ ，

②∵A（1，3），B（3，1），∴ ，

∵OC⊥AB，∴点C为AB的中点，即C（2，2），∴

总之，遇到这种求面积问题都可以从这四个方面去考虑，使复杂问题简单化。

（作者单位：新疆克拉玛依第五中学）