证法
- 一个擂台不等式的探究
与大家分享.二、证法探究这个不等式是成立的,下面给出3 种证法.证法1先证:由综上可得(∗)成立,当且仅当a=b=c时,(∗)中等号成立.证法2先证:由均值不等式,得下同证法1.证法3由均值不等式,得评注由证法1,可得到一个不等式的隔离:三、进一步探究3.1 题目的猜想利用均值不等式,易得:由②、③及原题,有如下的:猜想设a,b,c是正实数,n∈N+,有3.2 当n=4 时的探究当n=4 时,猜想是成立的,即有:命题1设a,b,c是正实数,则先给出一个引理
中学数学研究(广东) 2023年7期2023-09-11
- 一道北大综合营试题的证法赏析
出这道试题的多种证法.一、试题呈现如图1，已知等腰直角△ABC，∠A=90°，点D在边AB上，E在边AC上，AD=AE，过点A,D分别作BE的垂线交BC于P,Q.用平面几何方法证明：PQ=PC.图1试题简洁明了，结构也不算复杂，题目特意强调用平面几何方法证明.自然的想法就是添加辅助线，证明的途径较多，关键在于利用题目条件进行合理的转化.二、证法赏析思路一两条线段AP和DQ都垂直于BE，可以通过构造平行线成比例解决问题.不同的解题视角，可得到以下4种证法.证
中学数学研究(江西) 2023年2期2023-01-16
- 一道2022年江西省预赛试题的探究
本文对这道试题的证法、变式和推广作一探究.二、证法探究，不同视角、同样精彩证法三：由已知条件结合均值不等式可得三、变式拓展以上两个变式也可以用证法三-证法六来完成.四 推广当λ=2时就是2022年江西省高中数学预赛试题第10题.以上几个推广由有兴趣的读者自行完成.
中学数学研究(江西) 2022年12期2022-12-26
- 欧几里得证法中的双模型
般称其为欧几里得证法。具体的证明过程同学们可以见教材第88 页中的内容——“勾股定理的证明”。在欧几里得证法中，我发现了几何中经常用到的两个数学模型，一个是“手拉手”模型，另一个是“平行等积”模型。如图1，当AB=BF，BC=BD，并且它们的夹角∠ABF和∠CBD相等时，就能证得△ABD≌△FBC，这就是我们常用的“手拉手”模型。图1图2如图2，当AB∥CD时，易得S△ABC=S△ABD，这就是“平行等积”模型。我们在很多问题中会用到这个数学模型。进一步研
初中生世界 2022年42期2022-11-29
- 由一道中考题说起
，∴∠B=∠C。证法一（三次全等）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。图3在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴AD=AE。在△AOD和△AOE中，∵AD=AE，AO=AO，OD=OE，∴△AOD≌△AOE（SSS）。∴∠DAO=∠EAO。在△AFD和△AFE中，∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，AF=AF，∴△AFD≌△AFE（SAS）。∴∠DFA=∠EFA。又∵∠DFA+∠EFA=180°，∴
初中生世界 2022年39期2022-11-02
- 一道伊朗竞赛题的背景、证明、变式与拓展探究
表一个“简单”的证法,但随后便发现存在问题并致歉. 之后香港Kee-Wai Lan 在第206-207 页发表了一个较长证明,其中动用了导数,杂志编辑还特别提到希望看到该问题简洁的证法,然而四、五年内并未收到令大家都满意的证法. 因为在当时甚至包括现在,很多不等式爱好者都追求简洁漂亮的证法(不用微积分、不用复杂展开计算、不要难以理解、不要太长过程等).伊朗人还是不满足当前复杂的证法,特别期待简洁的证法,于是把该题作为1996 年数学奥林匹克试题,试图借此引
中学数学研究(广东) 2022年13期2022-08-29
- 一道代数不等式的三角背景及多种证法
.二、命题的多种证法a+b-c、b+c-a、c+a-b三者中最多有一者非正，因为它们两两之和为正.当它们中一者非正，命题二显然成立.所以我们只需考虑三者均为正的情形，这时a、b、c可以构成一个三角形的三条边.由(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)想到三角形的面积，得到如下证法.这是一个熟知的三角形不等式，不难证明，过程从略.以上两种证明方法都与三角形密切相关，作为一道代数不等式，我们希望有纯代数证法，笔者经过探究，又得到以下四种证法.证
中学数学研究(江西) 2022年8期2022-08-09
- 对一道高中数学课本习题的多种证法探究
等边三角形.2 证法探究分析考虑到正方形和正三角形的对称性，可以建立平面直角坐标系通过两点间距离相等证明，或用正余弦定理证明三边相等，或通过作辅助线利用三角函数证明三个角均为60°，或通过再构造等边三角形利用平面几何知识证明原三角形三内角相等，或通过设点或构造圆找点构造等边三角形，利用同一法证明等.思路1证明三边相等.证法1(建系设点)如图2所示，建立平面直角坐标系，设正方形边长|AB|=2，则C(2,0)，A(0,2)，D(2,2).因为∠PBC=∠PC
数理化解题研究 2022年19期2022-08-01
- 欧几里得证法中的双模型
般称其为欧几里得证法。具体的证明過程同学们可以见教材第88页中的内容——“勾股定理的证明”。在欧几里得证法中，我发现了几何中经常用到的两个数学模型，一个是“手拉手”模型，另一个是“平行等积”模型。如图1，当AB=BF，BC=BD，并且它们的夹角∠ABF和∠CBD相等时，就能证得△ABD≌△FBC，这就是我们常用的“手拉手”模型。如图2，当AB∥CD时，易得S△ABC=S△ABD，这就是 “平行等积”模型。我们在很多问题中会用到这个数学模型。进一步研究，我们
初中生世界·八年级 2022年11期2022-05-30
- 由一道中考题说起
，∴∠B=∠C。证法一（三次全等）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴AD=AE。在△AOD和△AOE中，∵AD=AE，AO=AO，OD=OE，∴△AOD≌△AOE（SSS）。∴∠DAO=∠EAO。在△AFD和△AFE中，∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，AF=AF，∴△AFD≌△AFE（SAS）。∴∠DFA=∠EFA。又∵∠DFA+∠EFA=180°，∴∠D
初中生世界·九年级 2022年10期2022-05-30
- 一道不等式题的多种巧证和结论推广*
x)2 解法探析证法1：(构造一次函数)令f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1,x∈(0,1)，∴f(0)=-(y-1)(z-1)图1图2证法4：(构造立体图形)如图3,构造一个边长为1的正方体ABCD-EFGH,在正方体中分别取边长为x,1-y,1的长方体IOPQ-EFRS,边长为y,1-z,1的长方体AMND-IJKL,边长为z,1-x,1的长方体TKCN-URGV.图3由于x,y,z∈(0,1),根据体积关系可知VIOPQ-EFGR+VAMN
中学数学研究(江西) 2021年9期2021-10-22
- 2020年全国Ⅲ卷理科数学第23题的探究与推广
b3+c3=3.证法一:由a+b+c=0得c=-a-b,所以a3+b3+c3=a3+b3-(a+b)3=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)=-3ab(a+b)=3abc=3.证法二:由恒等式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)得a3+b3+c3=3abc=3.证明:当n=1,2,3时,结论显然成立.最后,本文提出以下猜想:
中学数学研究(江西) 2021年9期2021-10-22
- 一道函数不等式试题的多种证法
单增.评注：上述证法中，根据题设条件，a≥1,x>0得出ax>0，故在对函数式变形中，两边同除ax，使得后面的求导能找到公因式x-1，剩下只要简证一下ex>x+1，由此g′(x)与0的关系立见分晓.(法2)欲证aex+2x-1≥x2+aex，即证aex-aex≥x2-2x+1=(x-1)2②.∵a≥1,∴aex-aex=a(ex-ex)≥ex-ex.令g(x)=ex-ex,则g′(x)=ex-e.∴当x∈(0,1)时，g′(x)0,∴g(x)在(1,+∞)
中学数学研究(江西) 2021年8期2021-09-06
- 一道2020年高考数列题的十种证法探究
第(1)问的十种证法，旨在供同仁在教学过程中作参考，旨在对同学们在学习这类问题时有所帮助和启示.证法1 (试验法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：若an=2n+1，则an+1=2(n+1)+1=2n+3，又3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3，此时an+1=3an-4n成立，所以an=2n+1.证法2 (数学归纳法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：(1)当n=1时，由an=2n+1知，a1=3，符
数理化解题研究 2021年10期2021-08-05
- 不等或问题的多种解（证）法
《1，求证a+b证法1：因为|a|《1，|6|《1，所以1士a》0，1土b》0。点评：这里利用了绝对值不等式的性质，采用综合法来证明，思路朴素自然。证法2：因为|a|《1，|6|《1，所以1土a》0，1土b》0。点评：此法通过构造一次函数，利用其单调性证明不等式，非常简洁。证法4：当6=0时，原不等式显然成立。点评：此种证法通过构造函数，利用函数的性质进行证明，突出了函数思想和方程思想，加强了函数、方程和不等式的联系。证法了：消元法。证法4：判别式法。证法
中学生数理化·高三版 2021年6期2021-07-25
- 安振平老师的博客中两个不等式证明
(x+y+z).证法一:设s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需证明：2(s2-2)+5p+6≥5s等价于5p≥-2s2+5s-2(1).综上所述，原不等式成立.综上所述，原不等式成立.证法三:记s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需证明:2(s2-2)+5p+6≥5s⟺5p≥-2s2+5s-2⟺5p+(s-2)(2s-1)≥0(2).当s≥2时，(2)成立.问题4738 已知x、y、z≥
中学数学研究(江西) 2019年11期2019-12-31
- 一道数学竞赛训练题证法的商榷
，原不等式成立.证法2：(1)若△ABC为Rt△或钝角△，证明方法同证法1.综上所述，原不等式成立.证法3：(1)若△ABC为Rt△或钝角△，证明方法同证法1.cosA+cosB+cosC+cos60°≤证法4：(1)若△ABC为Rt△或钝角△，原不等式证明方法同证法1.综上所述，原不等式成立.又∵4R2+12R+14r2≤8R2+8Rr+6r2等价于R2-Rr-2r2≥0,(R-2r)(R+r)≥0,由Euler不等式R≥2r知上述不等式成立.=2tan
中学数学研究(江西) 2019年5期2019-06-11
- 一道北京大学夏令营试题的多种证法
下几种证明方法.证法2:因为cosA+cosB+cosC=证法3:不妨设A≥B≥C，则B，C均为锐角.证法4:不妨设a=x+y，b=y+z，c=z+x，x,y,z∈R+.要证cosA+cosB+cosC>1，即证证法5:要证cosA+cosB+cosC>1，即证证法6:假设cosA+cosB+cosC≤1，则有acosA+acosB+acosC≤a，bcosA+bcosB+bcosC≤b，ccosA+ccosB+ccosC≤c，以上三式相加，得(acosB
中学数学研究(江西) 2018年12期2018-12-28
- “奔驰定理”的多种证法及其应用
文给出了以下五种证法，并通过示例展示其在求解数学竞赛题中的应用.图1下面从五个不同思路出发对定理的证明展开探索.证法一：利用三角形面积与线段比例关系推导.如图2，延长AP交BC于Q点(S=SA+SB+图2证法二：利用正弦形式的三角形面积公式.图3证法三：利用三角形重心的性质.图4证法四：利用向量按垂直坐标系分解的性质.图5证法五：利用平面向量分解的基本定理.图6利用奔驰定理可以容易解决如下问题：解析：由题意可知SΔBPC∶SΔAPC∶SΔAPB=1∶ 2∶
中学数学研究(江西) 2018年12期2018-12-28
- 一道课本习题的九种证法
后笔者整理出九种证法,供同行参考.图1 证法一利 用面积法证法二利 用正弦定理证法三利用面积法证法四利用正弦定理和三角函数图2 证法五利用三角形相似图3 证法六利用平行线分线段成比例定理图4 证法七利用三角形相似及合比定理图5 证法八利用直角三角形相似图6 证法九利用菱形及三角形相似图7
中学数学研究(广东) 2018年20期2018-11-08
- 一道能让“隐圆”大展身手的几何题*
数学知识给出一种证法：证法1因为∠ACB=90°，AC=BC，所以∠BAC=∠ABC=45°.如图2，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，则DE=DF， ∠FDE=135°，又因为∠BDC=67.5°，所以∠BDF+∠CDE=67.5°.延长CE至点G，使得EG=FB，可得Rt△DEG≌Rt△DFB(SAS)，从而DG=DB， ∠GDE=∠BDF，于是∠GDC=∠GDE+∠CDE=67.5°=∠BDC.又DC=DC，得△GDC≌△BDC(SAS)，从而于
中学教研(数学) 2018年7期2018-07-03
- 一道数列题求通项的思考探究
。下面进行探究。证法1：(构造法) 由an+1=3an+1得证法3：(归纳猜想法)由已知得:……这里的证明用数学归纳法就行。评析：上述证法1是参考答案提供的原证法,这种证法的第一步“由an+1=3an+1是利用“添项法”完成的,对一般同学来说,通常会遇到两个问题:一是为什么要添项?二是添什么项?这两个问题容易导致有些同学思维障碍的形成。虽然在平时的数学学习中,老师也讲过这种类型的递推数列通项公式的求法,但是,因为有些同学对这两个问题较难理解,再加上这种“添
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年3期2018-04-09
- 多种证法解决一道课本例题
3102))多种证法解决一道课本例题马松林(甘肃省古浪县第二中学,甘肃 武威 733102))本文从一道课本例题出发，除课本上给出的两种证明方法外，作者又介绍了九种证明方法，通过这些证明方法可以让同学们理解掌握不等式的基本证明方法.课本例题；证明方法此题的证明方法较多，课本上给出了作差比较法与分析法两种证明方法，下面给出另外九种证法，以供大家参考.证法一(商值比较法)∵a,b,m∈R+,a证法二(放缩法)∵a,b,m∈R+,a证法三(增量换元法)设b=a+
数理化解题研究 2017年28期2017-11-23
- 一道经典不等式问题的多种证法
不等式问题的多种证法■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)综合法、分析法和反证法是数学证明的三种基本方法,下面利用这三种方法给出一道经典不等式问题的多种证明方法,供同学们学习参考。题目： 已知a,b,c∈R+,求证:a3+b3+c3≥3abc。一、综合法本题可分别从作差比较法和作商比较法入手,利用熟知的立方和公式或和的立方公式以及基本不等式a2+b2≥2ab,以及a2+b2+c2≥ab+bc+ca进行证明。证法一:a3+b3+c3-3abc=a3+
中学生数理化(高中版.高二数学) 2017年4期2017-06-05
- 一题多证 放飞思维
00) 赖学锋●证法一：综合法∵(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+4(a+b)+8=a2+b2+12,又∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,∴(a+2)2+(b+2)2=13-2ab.证法二：分析法∴原不等式得证．证法三：比较法则原不等式成立．证法四：代数换元法∴原不等式得证．证法五：利用基本不等式变形∵(a+2)2+(b+2)2证法六：构造函数法令y=(a+2)2+(b+2)2，∵a+b=1，∴原不等式得证．证法七：几何法∵a+b=1，
数理化解题研究 2017年10期2017-05-17
- 欧拉不等式又两则简证
出的欧拉不等式“证法不容易”,文[3]、[4]给出了“更简捷证法”,受其启发,本文将再给出两则新简证.本文中,设△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，△ABC的外接圆和内切圆的半径分别为R、r.证法1在△ABC中,根据基本不等式和正弦函数的凸凹性质,可得:所以进一步可得:即得R≥2r，等号当且仅当a=b=c时成立.注释证法一也用三角证法,但篇幅极短且浅显易懂,避免了文[1]妙证的繁琐.下面仍采用边变换和均值不等式,通过比值估计法来获得比文[3]
中学数学教学 2016年5期2016-11-10
- Young不等式的两种新证法
g不等式的两种新证法安徽省六安市六安中学张本春(邮编：237161)给出了Young不等式的两种证法：均值不等式法和函数法.从引理到Young不等式的证明基本上都是采用初等数学的方法，是一次从初等数学的角度来思考高等数学问题的尝试.Young不等式；均值不等式；函数1 均值不等式法引理易证，此处从略.下面运用均值不等式法证明Young不等式.综合(1)、(2)可知，Young不等式得证.2 函数法证法2先证明一个不等关系：设x>0,0构造函数f(x)=xm
中学数学教学 2016年5期2016-11-10
- 对一道几何题证法的赏析与思考
昌义对一道几何题证法的赏析与思考杨昌义一位勤学的学生问了我八年级上册某教辅资料上的一道题，题目是：已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，∠E=∠AFE。求证：EF⊥BC。教科书上两直线垂直的定义是：两直线相交所成的四个角中，如果有一个是直角，那么这两直线叫做互相垂直。利用定义证明两直线垂直是基本的思维方法。但对刚学证明的学生来说，还是较为困难的。而本题待证的两条线段EF与BC不相交，更增加了难度。考虑到此题比较典型，我在接下来的课上
湖南教育 2016年27期2016-10-13
- 抓本质 拓思路 求透彻*
明，供参考.1 证法展示题目如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上的一点，联结AD，过点D作DE⊥AD交MN于点E，联结AE，∠ABC=45°,求证：AD=DE.图1 图2证法1如图2，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥MN于点H.由∠BAC=90°，∠ABC=45°，MN∥AC，可知∠ABC=∠NBC=45°，根据角平分线的性质可知DF=DH.而由“等角的余角相等”又可知∠DAF=∠DEH，根据“AAS”得△DA
中学教研(数学) 2016年8期2016-09-06
- 以美启真 与美共舞
——一道课本习题的解法探究
均值换元法可得到证法1。证法1：均值换元，简单明了二、数学美，美在对称、整齐对称是最能给人以美感的一种形式。正如德国数学家、物理学家魏尔说：“美和对称紧密相关。”对称不外乎局部与局部的对称，几何图形与数学关系都存在这种对称。体现形结构与数（式）结构的对称是对称美，已知与结论的对称能使解题者感到愉悦。本题中的条件和结论都关于a，b，c对称，由对称性启发，可得不同的证法。证法2（综合法）虽然显得突然，但证明过程处处体现出a，b，c的对称、整齐、优美；证法3（分
湖南教育 2016年18期2016-03-15
- 解析并推广2014年“北约”自主招生不等式试题
257027)证法6题目已知正实数x1,x2,…,xn满足x1x2…xn=1，求证：证法1证法2由AM-GM不等式知(1)由平均值不等式得证法4(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立，即则当n=k+1时，因为x1x2…xkxk+1=1，所以至少存在2个数，其中一个不大于1，另一个不小于1，不妨设xk≤1，xk+1≥1，从而(xk-1)(xk+1-1)≤0，则xk+xk+1≥1+xkxk+1.由x1x2…xk-1(xkxk+1)=1以及n=k的假设知故当
中学教研(数学) 2014年6期2014-08-07
- 一道平面几何题的六种证法
几何题千变万化，证法灵活多样，一题可有多种证法。 在平时的教学中，通过一题多证，可以加深学生对各学科知识的系统理解， 培养学生的逻辑推理能力，进一步拓展学生的思维水平；使他们能熟练、系统地运用掌握的基础知识去分析问题和解决问题，更重要的是提高和培养了学生综合解题能力和思维能力。下面以一道经典平面几何题为例，作六种证法和总结。1 题目题目：如图1，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC 过E 点交AD 于D，交BC 于C。求证：AD+BC=AB图1
科技视界 2013年2期2013-08-16
- 举一反三，一题多解
相似三角形等）.证法一：过D作DG∥CF交AB于点G，则有：∠DGA=∠CBA.因为∠CAB=∠CBA，所以∠DGA=∠CAB=∠DAG.所以AD=DG.因为AD=BF，所以DG=BF.又因为DG∥CF，所以∠GDE=∠EFB.又因为∠GED=∠FEB（对顶角相等），所以△DGE≌△FBE.所以EF=ED.证法二：过D作DH∥AB交BC于H，则有：∠CHD=∠CBA，∠CDH=∠CAB.因为∠CAB=∠CBA，所以CA=CB，∠CHD=∠CDH.所以CH=
中学数学杂志 2012年2期2012-08-27
- 一道平面几何问题的另证
，我们发现此问题证法灵活，难易适度，是一道适合奥赛训练的好题.现给出几种更为简洁自然的证法，供参考.证法一：如图1所示，连结BF、DF，由B、C、D、F四点共圆，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.所以，BDAC=BFAB.同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠C
中学数学研究 2008年2期2008-12-10
- ２００８年高考数学江西理科卷压轴题之别解
明f(1)>1.证法(一)：f(x)=11+x+11+λ+axax+8，由于x>0,a>0,故可令x=玹an2α,a=玹an2β,8ax=玹an2γ，且证α,β,γ∈(0,π2)，则f(x)=玞osα+玞osβ+玞osγ,玹anα•玹anβ•玹anγ=22.由对称性，不妨设0<γ≤β≤α<π2，于是，玹anα≥2,玹anβ玹anγ≤2莳玸inβ玸inγ≤2玞osβ玞osγ莳玞osβ玞osγ+玞os(β+γ)≥03玞os(β+γ)+玞os(β-γ)≥03玞o
中学数学研究 2008年8期2008-12-09