抓本质 拓思路 求透彻*

●陈卫英

(通州区兴仁中学　江苏南通　226371)



抓本质拓思路求透彻*

●陈卫英

(通州区兴仁中学江苏南通226371)

对于几何证明题，很多学生感到头疼，特别是要添加辅助线的问题更是无从下手.文章结合教学实际中的一例说明如何抓住问题本质，注重一题多解、一题多变的思考，不断积累解题活动经验，从而生成问题解决的通性通法.

问题解决；本质；思路；透彻；通法

对于几何证明题，很多学生往往感觉比较头疼，特别是要添加辅助线的问题更是无从下手.若能基于题中所涉及的知识点、可能用到的思想方法有效整合，抓住问题本质，注重一题多解、一题多变的思考，力求“做一题，会一片”，彻底弄通搞透，不断积累解题经验，自然会生成问题解决的通性通法.下面仅以一例加以说明，供参考.

1　证法展示

题目如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

过点B的直线MN∥AC，D为BC边上的一点，联结AD，过点D作DE⊥AD交MN于点E，联结AE，∠ABC=45°,求证：AD=DE.

图1 图2

证法1如图2，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥MN于点H.由∠BAC=90°，∠ABC=45°，MN∥AC，可知

∠ABC=∠NBC=45°，

根据角平分线的性质可知

DF=DH.

而由“等角的余角相等”又可知

∠DAF=∠DEH，

根据“AAS”得

△DAF≌△DEH，

从而

AD=DE.

证法2如图3，过点D作DF⊥BC交MN于点F.同证法1可得

∠DAB=∠DEF，∠ABC=∠C=∠NBC=45°，

图3

故

∠BFD=45°，BD=DF，

根据“AAS”或“ASA”得

△DAB≌△DEF，

从而

AD=DE.

证法3如图4，过点D作DF⊥BC交AB于点F.易知∠DBF=45°，故

DB=DF，∠AFD=∠EBD=135°，

由“等角的余角相等”可知

∠DAF=∠DEB，

或由“同角的余角相等”可得

∠ADF=∠EDB，

根据“AAS”或“ASA”得

△DAF≌△DEB，

从而

AD=DE.

图4　　　　　　　　　　　图5

证法4如图5，过点A作AF⊥BC垂足为点F，过点D作DG∥AB交AF于点G. 可知△ABF,△DGF都是等腰直角三角形，因此

FB=FA,FD=FG，

故

AG=BD.由于DE⊥AD，AF⊥BC，根据“等角的余角相等”可知

∠DAG=∠EDB，

再由∠AGD=∠DBE=135°，可得

△DAG≌△EDB，

从而

AD=DE.

证法5如图6，设AB,DE交于点F，延长AD交MN于点G，在BN上取一点H使BH=BF，联结DH.易知

∠FBD=∠HBD=45°，

由“SAS”得

△DBF≌△DBH，

从而

DF=DH，∠BFD=∠BHD.

由“等角的补角相等”可知

∠AFD=∠DHG，

而由“同角的余角相等”可得

∠AFD=∠DGH，

因此

∠DHG=∠DGH，

故

DH=DG=DF，

根据“ASA”得

△DAF≌△DEG，

从而

AD=DE.

图6　　　　　　　　　　　　图7

证法6如图7，在BN上取点G使BG=BA，联结DG.易知

∠ABD=∠GBD=45°,

由“SAS”得

△ABD≌△GBD，

从而

DA=DG，∠DAB=∠DGB.

由“等角的余角相等”可知

∠DAB=∠DEB，

从而

∠DEB=∠DGB，

得

DE=DG，

于是

AD=DE.

证法7如图8，过点A作AF⊥BC于点F，交MN于点G，联结DG.易知

∠ABF=∠GBF=45°，

BF垂直平分AG，故

DA=DG，

因此

∠DAF=∠DGF，

从而

∠DAB=∠DGB，

同证法6可得

AD=DE.

图8　　　　　　　　　　　　图9

证法8如图9，取AE中点O，联结OB,OD，可知

OA=OE=OB=OD，

因此点A,D,B,E共圆,故

∠AED=∠ABC=45°,

从而

∠EAD=∠AED=45°，

于是

AD=DE.

证法9如图10，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G. 由于DE⊥AD，AF⊥BC，根据“同角的余角相等”可知

∠DAF=∠EDG，

可得

△ADF∽△DEG，

从而

易知

AF=BF，BG=EG，BF=BD+DF，

从而

因此BD·EG+DF·EG=BD·DF+BG·DF.

又DF·EG=BG·DF,得

BD·EG=BD·DF，

从而

EG=DF，

即△ADF∽△DEG的相似比为1，故AD=DE.

图10　　　　　　　　　　　　图11

联立方程组解得点A的坐标为(a+b,b)，因此

OE=DF=a，OD=AF=b，

由三角形全等或勾股定理或两点间的距离公式都可证得AD=DE.

2　解题思考

2.1对于一题多解的思考

证法1～6都是构造了全等三角形，利用全等三角形的对应边相等；证法7构造了等腰三角形，利用等角对等边；证法8构造了三角形的外接圆，利用同弧所对的圆周角相等；证法9构造了“K型”这个基本图形，利用相似三角形的性质;证法10则是建立了平面直角坐标系，利用解析法解决问题.从本质上来讲，可以说除了证法6、证法7和轴对称有关外,其余8种证法中都有旋转的影子，如证法1可以看成是△ADF绕点D逆时针旋转90°得到△DEH，证法2可以看成是△DAB绕点D逆时针旋转90°得到△DEF，证法5可以看成是△BDE绕线段AE的中点逆时针旋转90°得到△GAD,等等.值得一提的是，此题多数学生初始的解题思路是构造“K型”这个基本图形，看似△ADF≌△DEG，但缺少“边相等”这一关键条件，不得不半途而废.这时比较熟悉的“K型”这一很多人认可的“通法”似乎遇到了瓶颈，而事实上△ADF∽△DEG是很容易证明的，利用相似巧妙地由相似三角形边之间的比得到EG=DF，从而相似比为1，即恰好是全等，AD和DE作为对应边自然相等了.

2.2对于一题多变的思考

变式1(变点)其余条件不变，当点D在如图12所示的位置时结论成立吗？其余条件不变，当点D在线段BC或线段CB的延长线上(如图13，图14)时结论成立吗？

图12　　　　　　　　　　　　图13

图12中过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥MN于点H，根据证法1可顺利解决，类似地也可根据以上其他多种证法完成，图13、图14也是如此.

图14　　　　　　　　　　　　图15

变式2(变角)如图15，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由.当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系(用含α的三角函数表示)．

此时只是将全等变成了相似，而证法仍然类似，有兴趣的读者可以一试．

当然，还可以“变线”，如2014年黑龙江省齐齐哈尔市数学中考第26题就相当于将此题中直线MN变成与BC平行的直线，方法还是类似．

因此，无论哪种证法，无论题目如何改变，只要抓住其本质，必会脉脉相通.

*收文日期：2016-03-02；2016-04-26

陈卫英，(1976-)，女，江苏通州人，中学一级教师.研究方向：初中数学教学研究.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-12-3