序列(12+Q)(22+Q)…(n2+Q)中的完全平方数

张庆杰，牛传择

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

0 引言

定理1存在某个与Q相关的正整数NQ，使得当n≥NQ时，Sn不是完全平方数。

显然，在得到NQ的值后，对n

1 主要引理和命题

Sn的完全平方性与其素因子的次数相关，在本节中，我们从Sn的素因子入手，给出相关引理和命题。

引理1设Q<3n2，若有理素数p满足p2|Sn，则p<2n。

证由于p2|Sn，存在以下两种可能：

(2) 若p|k2+Q且p|j2+Q，其中1

(1)

(2)

易知，Sn>(n!)2，故有

(3)

引理3[14]若a为奇数且e∈*，则x2≡a(mod2e)有N个解，其中

(4)

证考虑同余方程

x2≡-Q(mod2j)。

(5)

(1)Q为奇数。由引理3，当j=1时，(5)仅有一解；当j=2及-Q≡1(mod4)时，(5)恰有2解；当j≥3及-Q≡1(mod8)，(5)恰有4解；其它情况下，(5)无解。故由(1)可得

t2≡-Q1(mod2j-s)。

(6)

≤B(n,Q)。

命题得证。

x2≡-qeQq(modqj)。

(7)

因此，

命题得证。

2 定理的证明

在本节中，我们利用上述引理和命题，给出定理1的证明。

由(3)可得

(8)

结合引理4，由(8)得

(9)

由(4)知当p>n时，αp≤2，所以根据引理5及(9)，可得

(10)

又由(2)得

所以

(11)

因此，当n>1时，由(10)、(11)与引理6得

由命题1及命题2，当Q为奇数，即s=0时，

(12)

当Q为偶数，即s>0时，

(13)

当n→∞时，(12)、(13)右端的极限分别为

(14)

(15)

3 Sn的完全平方性

在本节中，我们以Q=2,5为例，给出确定Sn完全平方性的方法。

接下来，讨论n<2818163的情况。显然，S1=3，S2=2×32，S8=24×39×112×17×19均不是完全平方数。

(1)a3=32+2=11，若ord11(Sn)≥2，则n≥11-3=8，易知Sn中第二次出现素因子11的项为a8，故当3≤n≤7时，Sn不是完全平方数。

(2)a9=92+2=83, 若ord83(Sn)≥2，则n≥83-9=74，易知a74第二次出现素因子83，故当9≤n≤73时，Sn不是完全平方数。

(3)a57=572+2=3251, 若ord3251(Sn)≥2，则n≥3251-57=3194，易知a3194第二次出现素因子3251，故当57≤n≤3193时，Sn不是完全平方数。

(4)a1683=16832+2=2832491, 若ord2832491(Sn)≥2，则n≥2832491-1683=2830808，易知a2830808第二次出现素因子2832491，故当1683≤n≤2830807时，Sn不是完全平方数。

综上，Sn均不是完全平方数。

接下来，讨论n<13553819的情况。显然，S4=22×34×72为完全平方数，而S1=2×3，S2=2×33,S3=22×33×7，S5=23×35×5×72不是完全平方数。

(1)a6=62+5=41，若ord41(Sn)≥2，则n≥41-6=35，易知a35第二次出现素因子41，故当6≤n≤34时，Sn不是完全平方数。

(2)a12=122+5=149, 若ord149(Sn)≥2，则n≥149-12=137，易知a137第二次出现素因子149，故当12≤n≤136时，Sn不是完全平方数。

(3)a126=1262+5=15881, 若ord15881(Sn)≥2，则n≥15881-126=15755，易知a15755第二次出现素因子15881，故当126≤n≤15754时，Sn不是完全平方数。

(4)a3744=37442+5=14017541, 若ord14017541(Sn)≥2，则n≥14017541-3744=14013797，易知a14013797第二次出现素因子14017541，故当3744≤n≤14013796时，Sn不是完全平方数。

综上，Sn为完全平方数当且仅当n=4。

类似地，对于任意给定的正整数Q，均可确定Sn的完全平方性。利用以上方法，确定1≤Q≤100时Sn的完全平方性如下：若Q∈{1,11,23}，则Sn为完全平方数当且仅当n=3；若Q∈{3,8,15,24,35,48,63,80,99}，则Sn为完全平方数当且仅当n=1；若Q=5，则Sn为完全平方数当且仅当n=4；若Q∈{x|1≤x≤100且x∈}{1,3,5,8,11,15,23,24,35,48,63,80,99}，则Sn均不是完全平方数。

我们猜想：当Q≥24时，Sn是完全平方数的充要条件为Q+1为平方数且n=1。

4 结论

本文就Sn是否为完全平方数进行了研究，将Cilleruelo[2]讨论的Q=1和陈红[6]讨论的Q=23推广至一般的正整数Q。首先利用反证法证明了定理1这个一般性结论，接下来以Q=2,5为例给出了确定Sn完全平方性的方法，利用此方法，对于任意给定的正整数Q，Sn的完全平方性均可确定。