对一道高中数学课本习题的多种证法探究

董 强

(陕西省西安市第八十五中学 710061)

北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》章末复习题二B组有一道证明等边三角形的试题(第65页第2题)，题目是在正方形中有一点，使得其到正方形两顶点连线与正方形一边均成15°角，来证明该点与正方形其他两顶点连线与正方形另一边形成正三角形.

1 试题呈现

试题如图1，P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC=∠PCB=15°.

图1 图2

求证：△PAD是等边三角形.

2 证法探究

分析考虑到正方形和正三角形的对称性，可以建立平面直角坐标系通过两点间距离相等证明，或用正余弦定理证明三边相等，或通过作辅助线利用三角函数证明三个角均为60°，或通过再构造等边三角形利用平面几何知识证明原三角形三内角相等，或通过设点或构造圆找点构造等边三角形，利用同一法证明等.

思路1证明三边相等.

证法1(建系设点)如图2所示，建立平面直角坐标系，设正方形边长|AB|=2，则

C(2,0)，A(0,2)，D(2,2).

因为∠PBC=∠PCB=15°，

所以△PAD是等边三角形.

证法2(正余弦定理)设|AB|=2，|PB|=x，|PA|=y，在△PBC中，由正弦定理，得

在△PAB中，∠PBA=75°，由余弦定理,得

y2=x2+4-4xcos75°

所以|PA|=2.同理|PD|=2.

所以|PA|=|PD|=|AD|=2.

所以△PAD是等边三角形.

评析证法1和证法2的思路均为证明三角形的三边相等，证法1通过建立适当的平面直角坐标系，将点坐标化，则三角形三边长度相等问题转化为两点间的距离相等问题，利用两点间的距离公式或者向量的模长即可以求解，证法2将边长问题利用正余弦定理进行解决，从而证得了三角形的三边相等.这两种方法是学生最容易想到也是比较简单的证法.

思路2证明三个角相等均为60°.

证法3 (利用三角函数)如图3，设正方形的边长BC=2，过点P作BC和AD的垂线，垂足分别为点G，H，因为∠PBC=∠PCB=15°，所以PB=PC，∠ABP=∠DCP=75°.

图3

又BA=CD，所以△BPA≌△CPD.

所以PA=PD.

于是点G，H分别是BC，AD的中点，且BG=AH=1.

所以∠PAH=60°.

所以△PAD是等边三角形.

评析证法3通过三角形中的边角关系，先证明了两个三角形的全等，得到了一组对应边的相等，即证得了目标三角形是等腰三角形，接着通过正切值证明了三角形的一个角是60°，从而说明待证三角形是有一个内角为60°的等腰三角形——即等边三角形.

思路3构造等边三角形.

证法4(平面几何知识)如图4，在正方形ABCD外取一点F，使得△FBC为等边三角形，连接PF，因为∠PBC=∠PCB=15°，所以BP=CP，∠ABP=75°，∠FBP=15°+60°=75°.

图4

又BA=BC=BF，BP=BP，

所以△ABP≌△FBP.

所以∠BAP=∠BFP.

又BF=CF，PF为公共边，

所以△BPF≌△CPF.

所以∠BAP=∠BFP=30°.

所以∠PAD=60°.

同理∠PDA=60°.所以∠APD=60°.

所以△PAD是等边三角形.

证法5(平面几何知识)如图5，以PB为一边在正方形ABCD内作等边△BPQ，连接QD,QC.

图5

因为∠PBC=∠PCB=15°，

所以∠QBC=60°+15°=75°，∠PBA=75°.

又BA=BC，所以△BPA≌△BQC(SAS).

所以PA=QC.

又∠BPC=150°，∠BPQ=60°，

所以∠QPC=150°.

所以△BPC≌△QPC(SAS).

所以QC=BC.

所以PA=BC=AD.

又△ABP≌△DCP(SAS)，

所以PA=PD.

所以PA=PD=AD.

所以△PAD是等边三角形.

评析证法4和证法5都是通过构造等边三角形，利用相关条件证明三角形的全等，证法4求得了目标三角形内角的余角，从而证得了三角形的三个内角都为60°，即说明三角形是等边三角形，证法5利用三角形的全等证得了相应边的相等，利用三角形三边相等证明了目标三角形是等边三角形.

思路4构造圆.

证法6(同一法)如图6，分别以点A,D为圆心，以正方形的边长为半径作圆，两圆相交于点R，则△ADR是等边三角形.

图6

所以∠RAD=60°，∠RAB=30°.

延长RA交圆A于点M，连接MB，MD，则由AB=AM，得∠BMA=15°.因为BC是圆A的切线，所以∠CBR=∠BMA=15°.

同理可证，∠BCR=15°.

又∠PBC=∠PCB=15°，所以点R与点P重合，故△PAD是等边三角形.

证法7(同一法)设P0是正方形ABCD内使得△ADP0为等边三角形的一点，则∠P0AD=∠P0DA=∠AP0D=60°，P0A=P0D=AD=AB=DC.

所以∠BAP0=∠CDP0=30°，∠ABP0=∠AP0B=∠DCP0=∠DP0C=75°.

故∠P0BC=∠P0CB=15°.

而∠PBC=∠PCB=15°，由点P的唯一性可知，点P0与点P是同一个点，所以△PAD是等边三角形.

评析证法6利用圆的性质给出了找到正方形内使得目标三角形为等边三角形的点，根据对称性，正方形内有这样的四个点，其中每两个点与正方形四个顶点中距这两点最近的一个顶点构成等边三角形，这四个点形成的四边形是一个小正方形.证法7对证法6的过程进行了简化，将理论中存在的点设出来，利用同一性证明了等边三角形.