余弦定理
- 甄选正余弦定理 优化解题方法
)正弦定理和余弦定理是解三角形的有力工具,也是高考的必考知识点.针对正弦定理和余弦定理的应用进行分析和总结,可以将题型分为已知三角形的部分边和角解三角形、给出三角形的边角关系解三角形两种类型.在解题过程中,有些题目只能使用正弦定理,有些只能使用余弦定理,还有一些可以同时使用正弦定理和余弦定理,也有些题目要先使用正弦定理后使用余弦定理,或者先使用余弦定理再使用正弦定理.解题关键在于恰当选择解题方法,不同的选择会导致解题难度的不同,甚至可能无法得到准确的结果.
高中数理化 2023年17期2023-10-19
- 关于解三角形的一点困惑
定理求解和用余弦定理求解之间的等效性,文[2]提到了用方程的思想来求解三角形,文[3]讨论了正余弦定理的独立性,但论述不够完整,应当由正余弦定理的6 个公式中的任意2个,都能推导出其余的4 个公式. 在数学教育越来越关注学生核心素质的时代,对理论的深入探索也应当受到大家的关注.从解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三条边三个角,共有6 个变元,需要有6 个独立的方程才能解出. 我们知道至少要知道3 个变元值(三边、两边一
中学数学研究(广东) 2023年11期2023-08-05
- 例析正弦定理、余弦定理在解题中的应用
开正弦定理、余弦定理，这两个定理恰似两兄弟，解题紧相随。点评 题目已知两个条件，不能具体求出三角形的三边长，可将a，b分别用c表示，再利用余弦定理求值。点评 解答本题的关键是构造三角形ECB。由于点A不与E重合，也不与F重合，因此等号不成立。点评 判断三角形的形状，主要有两种途径：利用正、余弦定理把已知条件转化為边与边的关系，通过因式分解或配方得到边的相应关系，从而判断三角形的形状;利用正、余弦定理把已知条件转化为三角函数关系，通过三角恒等变换，得出内角的
中学生数理化·高一版 2022年6期2022-07-08
- 怎样运用正、余弦定理解答有关三角形的问题
=2R ;余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=c2+a2-2ca cosB，c2=a2+b2-2ab cos C（其中三角形ABC 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c）.正、余弦定理在解答有关三角形问题中应用广泛.下面结合实例来谈一谈如何运用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形狀、求三角形的面积.一、利用正、余弦定理解三角形在解三角形问题时，经常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两
语数外学习·高中版下旬 2022年1期2022-03-23
- 《余弦定理》高中数学教学案例
九章第一节《余弦定理》，由赵艳老师录制，以培养学生的方程思想和数形结合思想为目标，使学生掌握余弦定理的表示形式和余弦定理的向量证明方法。鼓励学生多角度思考问题，探索更多的余弦定理的证明方法，使学生经历知识迁移的过程，让学生体会转化与归结思想方法的应用，即将解一般三角形的问题转化为解直角三角形问题，从而使学生掌握余弦定理的本质内容，即一种解一般三角形的方法。本微课以赵老师设置问题，学生开展小组活动开始，培养了学生合作交流、团结的精神，激发了学生的兴趣，并使学
新课程教学(电子版) 2022年8期2022-03-01
- 全国名校必修5综合拔高卷（B卷）答案与提示
c＝48。由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccosA，则52＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc。故（b＋c）2＝3×48＋52＝196，b＋c＝14。64.（1）由题意知，要使不等式mx2－mx－2＜0恒成立，则：①当m＝0 时，显然－2＜0 成立，所以m＝0时，不等式mx2－mx－2＜0恒成立；②当m≠0时，只需，解得－8＜m＜0。综上，实数m的取值范围为（－8，0]。（2）要使对于x∈[1，3]，f（x）＞－m＋2（x－1）恒成立，只需mx2
中学生数理化(高中版.高二数学) 2021年11期2021-12-03
- 从高考真题看正弦、余弦定理的应用
知道，正弦、余弦定理的主要功能就是解三角形。利用正弦、余弦定理可以求出三角形的边，也可以求角，这类问题既可能出现在选择题或填空题中，也可能出现在解答题中。下面我们来通过几道2021 年的高考真题，来赏析它在解题中的应用。一、正弦定理的应用例1（2021 年 高考全国甲卷）2020 年12月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。图1是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且
中学生数理化(高中版.高二数学) 2021年11期2021-12-03
- 高中数学正余弦定理在日常生活中的应用
述正弦定理和余弦定理搭建了三角形边和角的桥梁，实现了边角之间的转化，直接运用它，可以直接求解三角形，灵活地变形并与其他知识结合，可以解决现实生活中的问题。2 利用正余弦定理解决平面几何问题图1 三角形在解决平面几何问题时，尤其是涉及到三角形，经常会同时利用正余弦定理与其他数学知识，利用正余弦定理解决平面几何问题的题目常常在高考中进行考查。2.1 判断三角形的形状结语：判断三角形的形状，本题使用的是余弦定理，我们在解决这类问题的时候，需要观察表达式，正确选择
报刊精萃 2020年12期2020-09-25
- 余弦定理教学设计
目标：能推证余弦定理以及应用余弦定理解三角形。能力目标：通过用几何法和向量法推导余弦定理，提高学生对分类讨论和数形结合等数学思想的认识，以及培养学生在已有的知识水平上发现问题，解决问题，用数学知识解决实际问题的能力。情感目标：培养学生从特殊到一般，再由一般到特殊的思维过程中，不断探索和创新，并能从中体会数学美。二、教学重、难点根据新课标要求和学生的实际水平确定本节的重难点如下：重点：探究和证明余弦定理的过程;初步对余弦定理进行应用。难点：利用向量法证明余弦
学校教育研究 2019年22期2019-12-09
- 赏析2019 年高考解三角形经典问题
隐含条件、正余弦定理、三角形的面积公式、三角变换、三角形中的最值与范围”等热点问题展开的，凸显目标意识下的“等价转化”思想的具体应用。一、利用三角形中的隐含条件和正弦定理求解三角形例1(2019年高考全国Ⅱ卷文15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinA+acosB=0，则解析：边角满足齐次式，根据正弦定理把边化为角，利用辅助角公式化为一个角的三角函数，结合角的隐含条件定角。由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0。因为
中学生数理化(高中版.高考数学) 2019年10期2019-11-27
- 用余弦定理解题产生的疑惑
要】 應用余弦定理解三角形，其本质是将“三角形”问题转换为讨论一元二次方程解的问题。对于出现一正一负解和两正解，本文详细地讲解了检验的原则， 而且对方程解的正负性与三角形的关系给出了解释。最后对于用正弦定理判断解三角形个数问题上，本文也尝试用余弦定理来解释。【关键词】 余弦定理一元二次方程韦达定理【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2019）14-055-02
中学课程辅导·教育科研 2019年14期2019-10-21
- 全国名校解三角形测试题（A卷）答案与提示
积为,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA。则36=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-12。所以(b+c)2=48,即b+c=4 3。所以△ABC的周长a+b+c=6+4 3。62.(1)cos2A+cos2C-cos2B=1-sin2A+1-sin2C-1+sin2B=1-sinAsinC。故sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC。由正弦定理可得b2=a2+c2-ac。由余弦定理可得：(2)由余弦定理可得b2=
中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年9期2019-09-28
- 正、余弦定理妙解三角形
刘邓辉正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积,其外接圆、内切圆的半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据。在利用正、余弦定理解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则两个定理要珠联璧合,有可能都会用到。一、求三角形的基本量例1(2015·安徽卷)在△ABC
中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年9期2019-09-28
- 例谈用正余弦定理解题的几种常用技巧
单谈一谈用正余弦定理解题的几种常用技巧。一、正弦定理正弦定理通常能解决的问题是：（1）已知两角及任意一边，求其它边角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边角；（3）已知对边对角，求三角形外接圆的半径、周长、面积等。在这里主要谈以上几种以外的常用技巧。1.边化角案例1 △ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求角B。左右两边用正弦定理把边换成相对角的正弦后，两边的2R可以约掉，相当于把边换成了角。以后为了简便书写，还可以直接写“由正弦定理得”
新教育时代电子杂志(学生版) 2018年19期2018-12-17
- 高中数学正、余弦定理教学方法探究
教师在进行正余弦定理教学时，可以按照学生对知识的接受顺序对其进行有效的教学。首先，在内容传授之前有效地帮助学生对新知识进行认识，增强与内容的熟悉感；其次，在进行知识的教学过程中可以以试题为载体，通过题目的考查实现对知识的掌握；最后，在学生对知识进行了解和掌握之后，教师需及时组织学生进行有效的复习。通过三方面的结合帮助学生有效掌握正余弦定理的知识。一、教师对学生预习的内容进行复习在任何学科的教学活动中，学生可以通过对新知识的预习实现在课堂上对教师授课内容的有
数学大世界 2018年12期2018-11-30
- 全国名校解三角形拔高卷（A卷）答案与提示
2+bc。由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-。又A为△ABC的内角,所以A=120°。故sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=sin B=sin(60°+B),故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。18.C 19.A21.D 22.B 23.C 24.D 25.A 26.D 27.C29.C二、填空题三、解答题50.(1)因为acosB=(3c-b)cosA ,所以由正弦定理得sinAcosB=(3sin
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年9期2018-09-28
- 余弦定理破解三类题
黄一淼一、余弦定理二、对余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立。(2)结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”。(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。(4)主要用途:余弦定理的主要用途是实现三角形中边角关系的互化。三、余弦定理的应用1.已知三角形的两边及其夹角,解三角形解析：由余弦定理得:故C=180°-A-B=75°。方法总结：已知三角形的两边及其夹角,
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年9期2018-09-28
- 应用正余弦定理破解三角形问题
,b,c,由余弦定理得:在△ABD 中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,∠ADB=π-2B。点评:正、余弦定理的应用原则:(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到。(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年9期2018-09-28
- 余弦定理在n维空间和球面上的推广
10000)余弦定理是平面几何基本定理之一，早在公元前三世纪，欧几里得在《几何原本》中首先提出了余弦定理的原始形式.经过了长时间的演变，余弦定理如今发展出多种证明方法，为我们提供了多种角度去看待余弦定理，从中诞生出了更多的可能性.本文主要讨论的是余弦定理在高维空间和曲面上的推广.一、低维余弦定理基于普遍意义上的二维余弦定理(定理1)：a2+b2-2abcosθ=c2，推广到三维空间(即三维余弦定理)，证明如下：对于任意三角锥O-ABC，其四个面面积分别为S
数理化解题研究 2018年16期2018-07-12
- 巧用余弦定理证明一类三元无理不等式
明：一、巧用余弦定理证明三元无理不等式证明:构造一个三棱锥S-ABC，使∠ASB=∠BSC=∠CSA=60°，SA=x,SB=y,SC=z,AB=证明：在平面上任取一点A,作∠OAB=∠OAC=60°，取AB=x,OA=y,AC=z，连接BO,OC,BC,在ΔOAB,ΔOAC,ΔABC中由余弦定理可知BO=二、方法的推广2.推广：设x,y,z为正数，α,β,γ∈(0,π)且α证明：(1)当α+β+γ=2π时,在平面上任取一点O，作∠AOB=α,∠BOC=β
中学数学研究(江西) 2018年6期2018-07-02
- 高中数学中三余弦定理的解析
高中数学中三余弦定理的解析◆李正阳在高中所学的学科中，数学科目的学习能够帮助学生对实际生活的的问题进行解决。学习数学能够培养学生的思维逻辑能力，让高中生能在多方面对问题进行思考。三余弦定理是高中数学中重要的组成部分。本文就高中数学中三余弦定理进行了深入分析。高中数学；三余弦定理；解题方式一、三余弦定理的相关概念如果平面之外的一条斜线和平面形成的角是θ1，平面中任意一条直线和这条斜线形成的锐角或者直角为θ，这条直线和这个斜线在平面中的射影形成的锐角或者视角为
环渤海经济瞭望 2017年7期2017-09-03
- 广义余弦定理
摘要：本文将余弦定理，由线段概念，扩展到图形概念。余弦定理及勾股定理仅是广义余弦定理的特例。关键词：广义余弦定理；广义勾股定理本文目的是：扩充余弦定理的含义和使用，众所周：知△ABC中有余弦定理：它的几何解釋是：以 为边的正方形，等于以 为边的正方形与以 为边的正方形之面积之和，减去以 为边的矩形面积的2cosC倍.若在a，b，c三边，任意作三个相似的图形，如下图设它们的面积分别为 则有定理：…⑴若以三角形的三边长，分别作正n边形则，∠C所对边的正n边形的
东方教育 2017年10期2017-08-04
- 高中数学中余弦定理的解析
学高中数学中余弦定理的解析肖茜文 湖南省长沙市南雅中学余弦定理和正弦定理在运用的过程中，通常是和三角函数联系在一起，通过余弦和正弦的定义以及使用特点，求出关于三角形边角以及面积的函数关系式。本文主要对余弦定理的特点进行了分析，并通过相关例题的解答，加深学生对余弦定理的理解，以此使高中学生全面掌握余弦定理相关知识点的目的。数学 余弦定理 运用余弦定理主要是对三角形当中三条边的长度与一个边角的余弦值的关系进行分析的一种数学思维和解题方法。运用余弦定理就可以求出
数码世界 2017年7期2017-07-25
- 浅析“正弦定理、余弦定理”ぴ诮馊角形中的应用
涛正弦定理与余弦定理的内容在新课标必修5中，在高考数学中，对这一部分内容的考查多以解三角形题目的形式出现. 近些年高考对这部分内容考查分值为5分或12分，2012年、2013年全国新课标卷Ⅰ均以解答题17题出现，试题难度比较容易；2014年、2015年均以填空题16题出现，试题难度较大，考查对知识的应用及综合能力.从新课标历年高考理科数学试题中可以看出，高考对这一部分内容的考查主要集中在统一求角及角范围类问题，通过余弦定理构造基本不等式求边长、面积、最值等
中学生理科应试 2016年6期2016-05-14
- 利用余弦定理解题的3个常用技巧
利用余弦定理解题的3个常用技巧◇江苏孟春云处理有关解三角形问题时,往往需要根据图形中有关“角”的特点,灵活利用余弦定理加以求解.请看以下归类解析.1利用等角的余弦值相等图12利用邻补角的余弦值互为相反数(1) 求sinB与sinC的比值;图23利用互补对角的余弦值互为相反数图3(2) 若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求(2) 连接AC,由余弦定理得AC2=25+16-40cosD=36+9-36cosB.①(作者单位：江苏省扬
高中数理化 2016年4期2016-04-28
- 正、余弦定理及其应用
夏志辉正、余弦定理及其应用是高考必考知识点之一，两个定理是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查.预计在2015年高考中仍然会以正、余弦定理为框架，以三角形为主要依据，来综合考查三角知识，也要关注利用定理解决实际问题. 题型一般为选择题、填空题，也可能是中、低难度的解答题.重点难点重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际
数学教学通讯·初中版 2015年10期2015-09-10
- 运用余弦定理解三角形的一类错误认识
兰正弦定理、余弦定理都是揭示三角形边角之间数量关系的重要定理，要求能够运用正余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧.近日在网上拜读了不少关于如何判断三角形的解的个数的文章，不少文章都认为在△ABC中，已知a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2bc
中学数学杂志(高中版) 2014年6期2014-11-29
- 正弦定理和余弦定理的应用
用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.（2）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本考点主要是利用正弦定理、余弦定理解决实际问题，多集中在测量距离、高度、角度等问题中.endprint（1）能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.（2）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本考点主要是利用正弦定理、余弦定理解决实际问题，多集中在测量距离、高度、角度等问题中
数学教学通讯·初中版 2014年5期2014-08-11
- 正、余弦定理的运用例析
张银华正、余弦定理是高中阶段的一个重要定理公式，在高考中对正、余弦定理的考查主要以三角形为依托，并结合实际应用问题来进行考查。题型一般为选择题、填空题，也可能是中等难度的解答题。学习这部分知识，要会运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角 形度量问题和一些与测量、几何计算有关的实际问题。下面是对正余弦定理的知识概括以及常考点略析。正、余弦定理是解三角形最常用的定理。正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R为外接圆半径）；余弦定理 c2
理科考试研究·高中 2014年5期2014-05-28
- 作高法解三角形
胜利用正弦、余弦定理解三角形是高考重点考查内容，通常难度不大.看到解三角形的试题，考生的第一反应就是正弦或余弦定理，但也有些试题不好判断是利用正弦定理还是用余弦定理，有些试题又可能两个定理都用到，显得有点复杂.其实有些试题我们可以既不用正弦定理也不用余弦定理，而采用数形结合、作出三角形的高，主要运用直角三角形中锐角的三角函数定义和勾股定理也可以解答试题.下面以近两年高考题为例，看看这别开生面的解法.endprint利用正弦、余弦定理解三角形是高考重点考查内
中学数学杂志(初中版) 2014年1期2014-02-28
- 从高考三角问题看正弦、余弦定理的辩证统一
问题看正弦、余弦定理的辩证统一●孙郁娥 ●吕峰波(嘉兴市秀州中学 浙江嘉兴 314033) (嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314000)解三角形是高考中的常见试题，纵观2012年全国各地的高考数学卷，其中不乏各类解三角形的题，归纳起来有以下4种类型：(1)已知两角和任一边，解三角形；(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(3)已知两边及其夹角，解三角形；(4)已知三边，解三角形.事实上，这4类解三角形问题在教科书上已给出了明确的解法，而且很多教学参考书上
中学教研(数学) 2013年3期2013-10-27