２００８年高考数学江西理科卷压轴题之别解

王品行

原题：22(本题满分14分)

已知函数f(x)=11+x+11+λ+axax+8,x∈(0,+∞).

(1)当a=8时，求f(x)的单调区间；

(2)对任意正数a，证明：1

由于题(1)思路单一，故这里仅对题(2)给出有别于参考答案的证明.

(2)证明：1°.证明f(1)>1.

证法(一)：f(x)=11+x+11+λ+axax+8，由于x>0,a>0,故可令x=玹an2α,a=玹an2β,8ax=玹an2γ，且证α,β,γ∈(0,π2)，则f(x)=玞osα+玞osβ+玞osγ,玹anα•玹anβ•玹anγ=22.由对称性，不妨设0<γ≤β≤α<π2，于是，玹anα≥2,玹anβ玹anγ≤2莳玸inβ玸inγ≤2玞osβ玞osγ莳玞osβ玞osγ+玞os(β+γ)≥03玞os(β+γ)+玞os(β-γ)≥03玞os2β+γ2+玞os2β-γ2≤112<玞osβ-γ2≤12-玞os2β-γ23•玞osβ-γ2=-(玞osβ-γ2-1)2+13>12,

又0<玞osα≤33,∴f(x)=玞osα+2玞osβ+γ2•┆玞osβ-γ2>1.

证法(二)：由证法(一)有

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