一道平面几何问题的另证

龚浩生　熊小平

《数学通报》2007年7月号问题1683为：

在鰽BCD中，过A、B、C三点作圆交BD于E，过B、C、D三点作圆交CA延长线于F.求证：BD•BE=AC•CF.

原解运用“玴tolemy”定理，结合相似变换，得出两个等式后，使结论获证.

经研究，我们发现此问题证法灵活，难易适度，是一道适合奥赛训练的好题.现给出几种更为简洁自然的证法，供参考.

证法一：如图1所示，连结BF、DF，由B、C、D、F四点共圆，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.

又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.

所以，BDAC=BFAB.

同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠CDE,得：△ABF∽△ECD.∴BFCD=BACE，即BFBA=CDCE.∴BDAC=CFBE.

∴BD•BE=AC•CF.

证法二：如图1，连结BF、DF、CE，由B、C、D、F四点共圆，设共圆半径为R，则由正弦定理得：BD玸in∠BFD=2R=CF玸in∠CDF，故BDCF=玸in∠BFD玸in∠CDF.同理，由A、B、C、E四点共圆，得：ACBE=玸in∠ABC玸in∠BCE.

由证法一，∠BFD=∠ABC,∠CDF=∠BCE.∴玸in∠BFD玸in∠CDF=玸in∠ABC玸in∠BCE.

∴BDCF=ACBE，即BD•BE=AC•CF.

证法三：如图1，设AC与BD相交于O，则OB=OD,OC=OA.由A、B、C、E四点共圆，得：OB•OE=OC•OA ①

同理，OB•OD=OC•OF ②

①+②得：OB(OE+OD)=OC(OA+OF)，即：OB•(OE+OB)=OC•(OC+OF).

∴2OB•BE=2OC•CF.即BE•BD=AC•CF.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”