以美启真 与美共舞——一道课本习题的解法探究

于先金　唐清生

以美启真与美共舞
——一道课本习题的解法探究

于先金唐清生

英国著名诗人济慈曾说：“美即是真，真即是美。”从这一角度来说，数学中处处充满美。从数学美的角度考虑解题思路的设计与发现，叫做以美启真。这种解题策略是将数学的简单美、对称美、和谐美、奇异美这四种形式与问题条件、结论相结合，再凭借知识经验与审美直觉确定解题的入手方向或总体思路。美的启示在解题过程中起到了宏观指导和决策的作用。

本文以人教版选修4-5“不等式选讲”第10页第11题为例，从数学美的角度对这道课本习题的解法进行探究，你会从中得到美的享受。

一、数学美，美在简单明了

所谓简单美，是指一个复杂问题的简单解法。它是优化解题思路的内在驱动力因素之一。正如高斯对自己工作的评价：“去寻求一种最简的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。”也就是说，简单美是指追求最容易、最清楚而且更经济的方法来解题。本题的条件和结论都很简单明了，而且a，b，c的算术平均值为，因而采用均值换元法可得到证法1。

证法1：均值换元，简单明了

二、数学美，美在对称、整齐

对称是最能给人以美感的一种形式。正如德国数学家、物理学家魏尔说：“美和对称紧密相关。”对称不外乎局部与局部的对称，几何图形与数学关系都存在这种对称。体现形结构与数（式）结构的对称是对称美，已知与结论的对称能使解题者感到愉悦。

本题中的条件和结论都关于a，b，c对称，由对称性启发，可得不同的证法。证法2（综合法）虽然显得突然，但证明过程处处体现出a，b，c的对称、整齐、优美；证法3（分析法）是从结论入手，并结合条件a+b+c=1，则只需证。这个不等式左、右两边都是关于a，b，c的二次齐次式，显得整齐、对称、优美。本题的关键是如何用好条件a+b+c=1，若将已知条件代入，则可消去一个字母，从对称性考虑，不妨消去a，于是可得证法4。

证法2：完全平方，对称优美

因为（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，所以2a2+2b2+2c2 ≥2ab+2bc+2ca，所以3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=12=1，所以。

证法3：分析自然，分组配方

要证a2+b2+c2≥，因为a+b+c=1，只需证a2+b2，只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+ 2ca，只需证（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0。

而这个不等式显然成立，所以原不等式成立。

证法4：代入消元，展开配方

因为a+b+c=1，所以a=（1-b）-c。因此a2+b2+c2=［（1-b）-c］2+b2+c2=2c2-2c（1-b）+（1-b）2+b2=2（c-。

三、数学美，美在和谐、统一

和谐美（或称统一美）是指部分与部分之间、部分与整体之间的和谐一致。数学的和谐美（或称统一美）是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律。统一性是数学美的重要标志，是数学家不懈追求的目标，也是数学发现与创造的美学方法之一。和谐美既是条件与结论的和谐，又是数与形的和谐，更是解题方法与思维策略的和谐，还是数学思想与思维途径的和谐。证法2和证法5从不同侧面体现了a2+b2+c2与a+b+c的关系；若只留下一个字母，如字母c，利用a+b=1-c消去a，b，可得证法6；若利用a+b=1-c并利用三角换元转化为三角问题，可得证法7。

证法5：完全平方，放缩配方

因为a+b+c=1，所以a+b=1-c。

则a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2c（a+b）≥1--2c（a+b）=1-

证法6：放缩消元，配方显然

因为a+b+c=1，所以a+b=1-c。

则a2+b2+c2≥+c2=c2-c2+。（以下同证法5）

证法7：三角换元，配方新颖

令a=（1-c）cos2θ，b=（1-c）sin2θ。所以a2+b2+c2=（1-c）2cos4θ+（1-c）2sin4θ+c2=（1-c）2（cos2θ+sin2θ）2-2（1-c）2sin2θcos2θ+c2=（1-c）2-（1-c）2sin22θ+c2≥。（以下同证法5）

四、数学美，美在奇异、突变

奇异与突变是一种奇特的数学美。奇异美是指所得出的结果新颖、独特，使人感到惊奇、赞赏与折服。在数学解题中，奇异性的存在使得构造反例、寻求特例、反证、极端等手法能够发挥出乎意料的作用，正难则反、以退求进、逆向思维、发散思维等可以认为是对奇异性的通俗理解。本题中结论是关于a，b，c的二次式，已知条件是关于a，b，c的一次式，并注意到当时结论中的等号成立，于是可得证法8和证法9；若令a2+b2+c2=r2（r＞0），则想到三角换元，仅需利用辅助角公式便可得到证法10；前面的证法3中分析得出只需证明，这个不等式有判别式的影子，所以通过构造二次函数可得证法11；再由这个不等式可联想到向量=（a，b，，它们的模的平方分别为

2=a2+b2+c2，，且，于是可得证法12。证法10～12体现了思维发散的奇异美。

证法8：巧妙构建，奇异突变

证法9：整体换元，巧妙自然

。

证法10：三角换元，利用辅助角公式

令a2+b2+c2=r2（r＞0），并注意到a，b，c∈+，所以可设a=rcosθcosφ，b=rcosθsinφ，c=rsinθ（0＜θ，φ＜），所以1=a+b+c=r［cosθ（cosφ+sinθ）+sinθ］=rcosθ· sin（φ+）+sinθ］≤r（cosθ+sinθ）=rsin（θ+α）≤，其中cosα=，sinα=，取α∈（0，

证法11：构建函数，运用判别式法

构造二次函数f（x）=（ax-1）2+（bx-1）2+（cx-1）2，所以f（x）=（a2+b2+c2）x2-2（a+b+c）x+3，显然f（x）≥0恒成立，所以Δ=4（a+b+c）2-12（a2+b2+c2）≤0，从而有

a2+b2+c2≥（a+b+c）2=。

证法12：巧构向量，揭示本质

在数学史上，数学美是数学发展的伟大动力。在数学解题中，数学美能给我们一种认识题意、探求思路、发现解法的新角度、新方法和新思路，因而数学美是探求思路、发现解法的源泉。数学美的各种表现在解题中的指导作用不是孤立的，而是相互结合、渗透并用的。因此，我们不仅要善于发现数学美，还要自觉追求数学美和运用数学美。

（作者单位：会同县第一中学）