不等或问题的多种解（证）法

王晖

不等式的求解与证明是高中数学的难点之一，下面通过介绍几道不等式问题的多种解（证）法，以开拓同学们的思维空间，提高发散思维能力和创新能力，同时希望对提高同学们的解题技能与技巧也能有所帮助。

例1解关于x的不等式ax-（a+1）x+1<0。

解法1：讨论法。

当a=0时，由原不等式得-+1《0，解得x》1。

当a≠0时，原不等式为二次不等式，对应方程的△=（a+1）？-4a=（a-1）》0。

由△=0，得a=1，由原不等式得x-2x+1《0，则原不等式的解集为0。

由△》0，得a≠1，此时对应方程有两个不相等的实根，解得=1

，2=1。a

1

当一《0，即a《0时，结合y=axa

（a+1）x+1的图像，可知原不等式的解集为

解法2：转换法。

原不等式等价变形为（ax-1）（x-1）《0。当a《0时，由原不等式得x《或x》1当a=0时，由原不等式得一（x-1）《0，解得x》1。

当a》0时，若?《1，即a》1，则由原不等式得1《x《1;若=1，即a=1，则原不等式无解;若。L》1，即0《a《1，则由原不等式得1《x《-1综上可知，当a《0时，原不等式的解集为（-o，1）u（1，+）;当a=0时，原不等式的解集为（1，+o）;当0《a《1时，原不等式的解集为（1..）;当a=1时，原不等式的解集为0;当a》1时，原不等式的解集为A-a-，1）。

例2已知|a|《1，|6|《1，求证a+b

证法1：因为|a|《1，|6|《1，所以1士a》0，1土b》0。

点评：这里利用了绝对值不等式的性质，采用综合法来证明，思路朴素自然。

证法2：因为|a|《1，|6|《1，所以1土a》0，1土b》0。

点评：此法通过构造一次函数，利用其单调性证明不等式，非常简洁。

证法4：当6=0时，原不等式显然成立。

点评：此种证法通过构造函数，利用函数的性质进行证明，突出了函数思想和方程思想，加强了函数、方程和不等式的联系。

证法了：消元法。

证法4：判别式法。

证法5：换元法。

证法6：分析法。

证法7：数形结合法。

证法8：放缩法。

证法9：均值换元法。

证法10：单调函数法。

解（证）不等式问题，首先要明确基本思路，即等价转换，分式不等式整式化，将要求解的不等式转化为一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）或可进行因式分解的一元高次不等式，进而顺利求解。

在解（证）一元二次不等式时，我们要運

用好二次不等式、二次方程和二次函数间的关系。利用数形结合的思想，即利用二次函数的图像可一目了然地得到一元二次不等式的解集。

在解（证）简单的一元高次不等式时，我们首先要将对应函数f（x）的最高次项的系数转化为正数，再将f（x）分解为若干个一次因式的积，然后将每一个一次因式对应方程的根标在数轴上，从右上方依次通过每一个点画曲线，最后根据曲线显现出的函数值的符号变化规律，写出不等式的解集。

在解（证）分式不等式时，我们首先要进行等价变形，将不等式的右边化为零，左边化为分式，然后分解因式。要注意的是分式的分母不能为零。当分式不等式的分母不能确定正负时，去分母需要分情况进行讨论。

在解（证）含参数的不等式时，我们要根据不等式的结构选好分类标准，避免盲目讨论。

（责任编辑王福华）