探究高考数学坐标系与参数方程的解题策略

陶长叶

坐标系与参数方程这一章是高中数学的重要知识模块，在高考全国卷中所在的位置为22题，它与23题的不等式两者是二选一的要求，每年的高考考生选做22题的比例也是很大的，可见这一章在高考中的地位非常重要。下面针对这一章的复习，归纳整理一些常见的解题策略，供2021届考生复習时参考。

策略一：抓住直线参数方程中参数t的几何意义

例/（2021年湖南衡阳联考）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，弯），曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程;

（2）设过点P的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|.|PB|的最大值。

解析：（1）由曲线C的极坐标方程p=

点P的直角坐标为（0，1）。设直线l的参数（.xc=tcosa，方程为

（t为参数，0《a《），y=l+tsina

代人曲线C的直角坐标方程，化简整理得（3+sin'a）t+8tsina-8=0。

设A，B两点对应的参数分别为t，tp，

因为0《sina《1，所以当sina=0，即

a=0时，|PA|.|PB|的最大值为3。

点评：（1）涉及参数方程和极坐标方程的

综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解。当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程。（2）直线的参数方程的标

何意义是直线上的点P到点P。（co，yo）的数量，即|t|=|P驴|，l可正，可负。使用该式时直线上任意两点P，P，对应的参数分别为l，lz，则|PP2l=l-l2l，PPz的中点对应的参数为（4，+1）。

策略二：用好极坐标方程中极径p的几何意义

例2（2021年广东湛江检测）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系。

（1）求曲线C的极坐标方程;

（2）在极坐标系中，M，N是曲线C上的两点，若CMON=：了，求OM|+1ON|的最大值。

点评：极径p是一个距离，所以，但有时p可以小于零。极角0规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一对应的，所以我们又规定0≥0，00<《2，来使平面上的点与它的极坐标之间是一对应的，但仍然不包括极点。

策略三：注重转化为普通方程方便计算例3（2021年安徽池州检测）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（1）求曲线C的普通方程和曲线C，的直角坐标方程;

（2）设曲线C与曲线C2交于M，N两点，P为曲线C上的动点，当点P到曲线C，的距离最大时，求△PMN的面积。

因为点P到直线MN的最大距离为

d+3=4，所以SoPMN

2X4/2X4=8/2。

点评：该题利用圆的普通方程找到圆心坐标和半径，求出直线的普通方程后利用点到直线的距离公式求出弦长MN，为求三角形的面积奠定了数据基础。有时候并不是所有的参数方程和极坐标方程的问题一定要用参数方程和极坐标方程的观点去处理解决的，普通方程的地位也很重要。普通方程其实就是直线和圆锥曲线的标准方程，也就是用同学们熟悉的解析法去解决问题。

策略四：关注参数方程中的最值问题例4（2021年安徽六安检测）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线

（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程;

（2）将曲线C向左平移2个单位长度，再将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的1，得到曲线C，求曲线C上的点到直线l2的距离的最小值。

解析：（1）由曲线C的参数方程

点评：最值问题往往通过建立函数关系解决，参数方程中的函数多以参数作为自变量建立函数关系，在求最值时要关注参数的取值范围，它就是函数的定义域，直接影响函数最值的取值状态。在解决与圆和椭圆有关的最值问题时，利用参数方程更具优越性。

以上介绍了坐标系与参数方程问题中常见的解题策略，在具体的使用过程中还有很多基于题目本身的特点，需要做出解题细节调整。同学们要善于从题目中变化的量找出某些规律，应用我们所学的知识去解决问题。

（责任编辑王福华）