聚焦选考题中的不等式证明

孙承辉

《不等式选讲》在“不等式”的基础上，增加了绝对值不等式和柯西不等式等知识，在高考中以选做题的形式出现，考查逻辑推理能力和数学运算能力。对于其中的证明题，重点考查运用比较法、综合法和分析法等证明方法，本文对不等式证明题进行分类解析，供同学们复习时参考。

常考题型1：以绝对值三角不等式为考点绝对值不等式的内容比较丰富，比如|a-b|《|a-c|+|c-b|（a，bER）和绝对值三角不等式||al-|b|l《|atb|《|a|+|b|（a，bER）。运用绝对值三角不等式需注意不等式的结构，必要时可对代数式进行拆项变形。

例1已知函数f（r）=|2x-1|。（1）解不等式f（x）《|x|+3;

（2）设2x-1=m（x-3y+l）+n（2y1）=mx+（-3m+2n）y+m-n，则m=2，n=3，即2x-1=2（x-3y+l）+3（2y-1）。

因为＼x-3y+1＼4分，2y-1《，所以f（x）=|2x-1|=12（-3+1）+3（2y-1）|<2|x-3y+1l|+3|2y-1|<2X

点评：第（1）小题是解含绝对值的不等式，属于简单题。第（2）小题是利用待定系数法对2x一1进行拆项，这是绝对值不等式|a-b|《la-cl+|c-b|的直接應用。

常考题型2：以基本不等式和柯西不等式为考点

不等式证明题中有以基本不等式和柯西不等式为考点的题型，同学们要熟悉这两种不等式的多种形式，例如，三元基本不等式：

例2已知正实数a，b，c满足a+b3+c3=1。证明：

（1）a+b+c>（a+b+c*）;

（2）a2b+b'c+c'a<1。

证明：（1）证法一（柯西不等式法）：因为a+b+c=1，所以a+b+c=（a+b+）。（a'+b3+c3）=[（/a）2+（6）+（6].【（/a）*+（/历）+（/）】》（a+63+c2）”。

证法二（基本不等式法）：因为a+b+c8=1，所以a+b+c=（a+b+c（a+63+c'）=a'+b*+c*+（ab*+ba'）+（ac*+ca*）+（be*+cb*）>a'+b*+c*+2/a6ba+2/aeca+2/b6cc6"=a*+6'+e*+2a*6+2a"c+26c'=（a+b+c）.

（2）要证a'b+b*c+c*a《1，即证a*6+b'c+c'a

证法一（排序不等式法）：不妨设a》b≥c，则a'》b》c，由乱序和《顺序和，可知a'b+bc+c*a

证法二（基本不等式法）：a+6'=（a+6）（a'-ab+b）>（a+b）（2ab-ab）=ab+ab。同理，b+c》bc+bc*.c*+a》ca+ca。所以2（a+6+c*）》ab+bc+ca+ab'+bc+ca'。

又因为a+6'》2ab，所以a+ab》2a'b，所以a'》2a*b-ab。同理，b'》26'c-bcz，c》2ca-ca。所以a+b+c》2（a'6+b*c+ca）-ab-bc？-ca。

②①+②得3（a+b+c）》3（a6+

bc+c'a），即ab+bc+ca《a+b+c3=1，结论得证。

点评：解答第（1）小题时要观察到需证的不等式的左边是一次多项式，右边是四次多项式，所以根据a+6*+c8=1把a+6+c变形为a+b+c=（a+b+c）（a+6+c），再运用柯西不等式或基本不等式就能证明。第（2）小题中的ab+bc+ca可以看作乱序和，直接运用排序不等式证明最方便。

常考题型3：以不等式的证明方法为考点证明不等式的常见方法有比较法、综合法、分析法等，作差（或作商）法的本质是把两个式子的大小判断转化为一个式子与0（或1）的大小关系。另外，用分析法证明不等式时，要注意书写格式的规范性，也可以先用分析法寻找思路，再用综合法写证明过程。

例了已知不等式|x-2|+|x-3|《3的解集为M，且a，bEM。

（1）若a》b，求证：2a'-b》2ab*-a'b;（2）求证：|4+ab《|a+46|。

解析：（1）求得不等式|x-2|+|x-3|《3的解集为（1，4），所以M=（1，4）。

2a'-b-（2ab*-ab）=（2a'-2ab）+（a'b-b）=2a（a-b）+b（a-b）=（a2-b）（2a+b）=（a+b）（a-b）（2a+b）。

因为1《b《a《4，所以a+b》0，a-bo，2a+b》0，所以（a+b）（a-b）（2a+6）》0，即2a-6-（2ab-a6）》0。

所以2a'-6》2ab'-a'6。

（2）要证|4+ab|《|a+46|，即证（4+ab）'《（a+46），即ab+16-a-1660，即证（a-16）（6-1）《0

因为a，bE（1，4），所以a-16《0，61》0，所以（a-16）（b-1）《0.

所以|4+ab|《|a+4b|。

点评：第（1）小题主要考查作差法证明不等式;第（2）小题通过分析法，将要证的不等式平方后再作差。这两小题里作差后的变形是解决问题的关键，常用的策略是把代数式因式分解，通过判断各个因式的符号来确定整个代数式的符号。

（责任编辑王福华）