柯西
- 应用柯西不等式的几个技巧
等号成立,这就是柯西不等式的一般形式.在解题中,关于柯西不等式的运用并非“直截了当”,往往需要运用一些方法与技巧,下面一起来看个究竟.1 巧拆常数柯西不等式的右侧是两个因式的乘积形式,于是我们可以将所求等式乘1,然后将1根据实际拆分成几个分数的和.例1已知实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d＝3,a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5,试求a的最值.点评巧拆常数必须从实际出发,本题借助柯西不等式将等式转化为关于a的不等式,在这个过程中,柯西不等式发挥了化等式为不
高中数理化 2022年19期2022-10-26
- 利用柯西不等式求最值的技巧
时，只要能配凑出柯西不等式中两组数的乘积或两组数的平方和，且其中之一为定值，便可运用柯西不等式求得形如c+d、ac+bd式子的最值.例1.已知x+y=1，求x+y的最小值.分析：x+y是关于x、y的二次齐次式，也是x、y的平方和，而已知条件中x+y是关于x、y的一次齐次式，可以将其看成1·x+1·y这里x+y相当于二维柯西不等式中的c+d，x+y相当于公式中的ac+bd.而a=1，b=1，a+b=2，由柯西不等式可得x+y≥k（k是常数）成立，從而求得x+
语数外学习·高中版下旬 2022年5期2022-07-13
- 灵活运用柯西不等式,快速求解最值问题
于欣琪 韩肠柯西不等式是一个非常重要的不等式，它在证明命题、求函数最值等方面有着广泛的应用.尤其在求解最值问题时，巧妙地运用柯西不等式及其变形式，能够快速、准确地获得问题的答案.本文重点谈一谈柯西不等式在求函数最值问题中的应用.设 a1，a2，a3， …，an ，b1，b2，b3， …，bn 是实数，则（a12+ a22+ …+an2）（b12+b22+ …bn2）≥ （a1b 1+a2b2+ …anbn）2，当且仅当 bi=0（i =1，2， …，n）
语数外学习·高中版中旬 2022年3期2022-05-24
- 例谈柯西不等式在解题中的应用
秦安县第二中学)柯西不等式可以很好地考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力,因而成为高中数学各类考试中的热门考点.n维柯西不等式的一般形式:对任意的实数a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn,有1 利用柯西不等式求最值例1 已知函数f(x)＝|2x－m|,若f(x)≤1的解集为[1,2],且a＋3b＝m(a＞0,b＞0),求a2＋9b2的最小值.例3 已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥7的解集;(2)记函数f(x)的最小值
高中数理化 2022年5期2022-03-31
- 基于柯西型K-积分性质及其应用探讨
ta积分的方式对柯西中值定理进行探讨，并确立了定理的渐进性。陈雪等[3]提出利用函数的柯西积分性质来分析柯西积分公式。基于此，可以看出通过复积分的方式研究解析函数，在复积分的研究过程中，延伸出了很多重要的知识。利用柯西型K-积分的相关性质进行研究，可以得到复变函数积分的相关性质在复变函数K-积分中的应用。1 柯西型K-积分的连续性与解析性1.1 柯西型K积分的相关定义1.2 相关引理2 柯西型K-积分的连续性、解析性及证明2.1 定理1证明2.2 定理2证
红河学院学报 2021年2期2021-04-11
- “高观点”下柯西不等式的应用探究*
莫元健 龙承星柯西不等式作为高中数学新课程中的新增内容,其形式简洁,应用广泛,极具解题魅力.近年来,无论是高考试卷还是数学不同学科的题目中都越来越多地出现了与柯西不等式相关的题目.用高等数学中柯西不等式的思想渗透到中学数学中,对解决中学数学中某些不等式的证明或灵活并巧妙地在不同数学学科中应用柯西不等式,将得到出奇制胜、事半功倍的效果.1 柯西不等式1.1 柯西不等式的定义在中学中我们熟知柯西不等式的左边是平方和的乘积,右边是乘积和的平方.但在高等数学中,
中学数学研究(广东) 2021年4期2021-03-16
- 浅谈构造法在柯西不等式中的运用
查日趋多样化，而柯西不等式就是其中的一种常见的考查要点，但对于多数同学来说，如何正确地运用柯西不等式，如何将不等式构造或转化成柯西不等式的形式尤为困难.构造法是一种很常用的方法，本文拟通过对教学工作中的一些思考，将柯西不等式的构造作一点粗浅的总结，以期抛砖引。一、柯西不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）证明：构造二次函数=由构造知 恒成立 又，当都为0时成立，若其不都为0时，则显然，即当且仅当 即时等号成立二、柯西不等式的构造柯西不等式是一个非常
小作家报·教研博览 2021年54期2021-01-03
- 活跃在竞赛题中的柯西不等式*
00)在竞赛中,柯西不等式对不等式的证明与求代数式的最值有着十分重要的作用. 与此同时,柯西不等式经常也与其他不等式结合使用,能解决很多有难度的试题. 本文旨在帮助同学们突破有关柯西不等式运用的难点和热点问题.一、柯西不等式的直接运用例1(2018年河北初赛题)若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,则zmax+zmin=______.分析视z为参数并移项,再使用柯西不等式得不等式,可使问题获解.例3(2018年河南初赛题)已知cos
高中数学教与学 2020年11期2020-08-05
- 聚焦柯西不等式在竞赛中四大运用
201808)柯西不等式在竞赛中不等式的证明与代数式最值的计算，有着十分重要的作用.与此同时，柯西不等式经常也与其他不等式结合使用，能解决出很多有难度的试题.本文旨在帮助同学们突破有关柯西不等式运用的难点和热点问题.一、知识点梳理当且仅当ai=kbi，即ai,bi(i=1,2,3,…,n)成比例时取等号.二、命题规律揭示1.柯西不等式的直接运用例1 (2018年河北初赛题)已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,则zmax+zmi
数理化解题研究 2020年19期2020-07-22
- 柯西不等式的应用透视
证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式特别方便,利用柯西不等式的技巧也有很多,如添项、配凑常数式、改变结构等.3.1 添项3.2 “1”的代换由柯西不等式,得所以ab+4bc+9ac≥36,当且仅当a=2,b=3,c=1时,等号成立.3.3 凑配常数式(1)解不等式f(x)≥4;(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c均为正实数,且a+2b+3c=2m,证明:(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2,3.4 改变结构证明由柯西
高中数理化 2020年5期2020-04-13
- 柯西不等式三用
312069)柯西不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，许多不等式问题通过柯西不等式化解往往事半功倍，使人耳目一新．下面就柯西不等式的三个重要应用进行例析.一、变形凑数用柯西点评直接应用柯西不等式化解的问题一般易于破解，有些问题不易直接进行化解，则需要进行必要的凑、补等手段才能达到，因此要注意对于已知的式子进行必要的变形，以利于柯西不等式的应用．二、二用柯西传递证例2已知正数a,b,c满足a+b+c=1，分析这个问题首选要进行变形运用柯西不等式，将不
数理化解题研究 2019年19期2019-08-14
- 一类条件为abc=1的不等式
+c).2 三元柯西不等式及常见结论于是得到以下结论:有了结论1,笔者利用柯西不等式并结合待定系数法来证明定理1.由柯西不等式有利用定理1,可快速地证明例1.由xyz=1和定理1得证.证明由柯西不等式有(2)经过简单变形,可得到以下式子:证明由柯西不等式有利用柯西不等式证明此类条件为abc=1的不等式的关键是创设应用柯西不等式的条件,配合一定的变形、构造技巧,这样可使复杂问题简单化,达到事半功倍的效果.若所证不等式的结构较简单,注意到柯西不等式的结论中分子
中学数学教学 2019年2期2019-04-18
- 柯西不等式的多视角证明及应用
冀建军 王 伟柯西不等式是高考必考内容和高频考点,运用柯西不等式解决相关求值、不等式证明、求最值等问题可以起到事半功倍的效果.学生对柯西不等式大多停留在识记公式层面,能进行直接应用,但遇到具体问题情境,意识不到用柯西不等式,不能进行知识迁移,束手无策,只能放弃,其关键是对公式内涵理解不够,对公式相关变形及几何意义达不到“创新型理解”.1.柯西不等式的形式柯西不等式一般形式为:设ai,bi∈R,则即对于(a1b1+a2b2+···+anbn)2,当且仅当a
中学数学研究(广东) 2019年5期2019-04-13
- 探究柯西不等式在数学竞赛的重要性
50500）一、柯西不等式内容二、柯西不等式的二次函数证法所以把上列n个不等式相加得当b1=b2=… =bn=0时，已经研究。∴f(x)是关于x的一元二次函数，∴f(x)=0方程判别式△≤0下面研究（1）式取等号的情形若（1）式取等号，则△=0，于是由（3）知方程f(x)=0有两个相等的实数根，即x=k,代入（2）得所以从两方面证明了柯西不等式，在高考和数学竞赛中，柯西不等式主要解决最值问题、取得最值时满足的条件及推到其他重要的不等式。柯西不等式应用特点：
新教育时代电子杂志(学生版) 2018年15期2018-12-18
- 均值不等式和柯西不等式携手同行探求多元最值
0)均值不等式和柯西不等式是两个著名的不等式，它们在解决有关数学问题的过程中，各自发挥了重要的作用.但是，对一些多元函数最值问题，特别是一些比较复杂的多元函数的最值问题，如果想到使它俩能够携手同行应对，便可发挥更大的威力.本文举例说明，如何让均值不等式与柯西不等式携手同行探求多元函数的最值问题时产生更大的效果.=(1+4)2=25，①≤(x2+y2)[(1-y2)+(1-x2)](运用二维柯西不等式)由均值不等式，得当且仅当x=y=z时，上式等号成立.又由
数理化解题研究 2018年31期2018-11-29
- 妙用柯西不等式的变形解题
高级中学 曾鸿烨柯西不等式作为一个基本而又重要的不等式,具有较强的应用性。同学们如果能灵活巧妙地运用柯西不等式,特别是柯西不等式的变形形式,就会在解题时能收到出奇制胜、事半功倍的效果。下面通过一些课本上的习题、高考题、竞赛题来看柯西不等式变形形式的应用。柯西不等式：若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全为零时,当且仅当存在一个实
中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年11期2018-11-29
- 柯西不等式的几点注记
63006）1 柯西不等式及其证明证一：利用构造二次函数证明反之，若两组数(ai)与(bi)成比例，两边相等。[1]证二：利用作差法证明证三：利用向量内积证明利用向量内积证明证四：利用均值不等式证明式中A＞0，B＞0，则(1)即下面证明不等式(3)，由均值不等式将以上各式相加，得证五：利用数学归纳法证明即n=k+1时，不等式也成立2 柯西不等式的各种形式柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学分支中都有着极其广泛的应用。在不同的数学分支它有不同的形式和内容
遵义师范学院学报 2018年6期2018-11-28
- 再探究柯西不等式在2017年高考数学中的应用
726001)柯西不等式是高中数学中的一个重要不等式，它在中学数学中有多方面的应用.近几年柯西不等式在全国各地高考试题中的应用屡见不鲜.2017年全国及各地高考数学试题中，柯西不等式又体现了其应用的广泛性.下面略举几例，供大家参考.一、在不等式证明中的应用例1(2017年全国Ⅱ理23)已知a>0，b>0，a3+b3=2.证明(a+b)(a5+b5)≥4.证明由二元柯西不等式，得∴(a+b)(a5+b5)≥4.例2(2017年江苏21D)已知a，b，c，d
数学学习与研究 2018年13期2018-07-17
- 柯西不等式的推论的应用
8000 )一、柯西不等式及其推论柯西不等式:设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.推论1:设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),则当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.二、柯西不等式的推论的应用由推论1得∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2对例1可进行维数的推广.维数的推广:设ai∈R(i=1,2,…,n),证明根据柯西不等式，类似例1过程得在解决有些不等式问题时
数理化解题研究 2018年1期2018-05-09
- 柯西不等式的证明及应用
及神奇的，特別是柯西不等式，柯西不等式作为一种高中数学学习非常重要的不等式，当ai，bi∈R（i=1，2，…，n）时，∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，其中等号成立的条件是当数组a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不完全等于0时.灵活地应用柯西不等式，能够解决一些看似比较困难以及复杂的问题.本文给出了几种较为典型的证明柯西不等式的方法，然后列举了几种柯西不等式的一般式、二维形式、向量形式以及三角形式，最后介绍了在几种类型的解题过
数学学习与研究 2018年3期2018-03-14
- 柯西不等式的推论的应用
528000)柯西不等式的推论的应用刘振兴(佛山市第一中学，广东 佛山 528000)柯西不等式是一个非常重要的不等式，它以其形式对称和谐美的结构引起了许多学者的研究,并出现了许多的推论变式.应用柯西不等式的推论，可以简单解决许多竞赛中的不等式问题,并且对这些不等式问题可进行推广.柯西不等式；推论；推广一、柯西不等式及其推论柯西不等式:设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.二、柯西不等式的推论的
数理化解题研究 2017年22期2017-10-20
- 柯西不等式的应用
郑在田++胡福军柯西不等式的應用
高中生学习·高三版 2017年6期2017-06-12
- 柯西不等式的向量形式及其应用
810000)柯西不等式的向量形式及其应用◎黄 骁(青海师范大学，青海 西宁 810000)柯西不等式；向量；应用构造m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn)，由于m·n=|m||n|cos〈m，n〉，而cos2〈m，n〉≤1，所以|m|2|n|2≥(m·n)2，当且仅当m∥n时，等号成立.一、解方程组问题二、求最值问题例2 已知a+2b+3c+4d+5e=30，求S=a2+2b2+3c2+4d2+5e2的最小值.(a2+2b2+3c2数学学习与研究 2017年9期2017-06-01
- 柯西不等式在求多元函数最值中的应用再探
0) 温芳勇●柯西不等式在求多元函数最值中的应用再探江西省赣州市第三中学(341000) 温芳勇●解 观察变元x、y、z的次数，依低次在不等式左边、较高次在不等式右边的原则，确定要凑配成(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)( )这种形式.故括号里面的数很明显是12+22+32.据此有，(x+2y+3z)2≤ 5×(12+22+32)=70,例3 设x+y+z=1，求函数u=2x2+3y2+z2的最小值.解 要凑配成柯西不等式，观察其变元的次数，低次数理化解题研究 2017年10期2017-05-17
- 对两道柯西不等式问题的困惑与解惑
) 王强芳对两道柯西不等式问题的困惑与解惑广西南宁三中(530021) 王强芳笔者在竞赛辅导时选讲了如下题目,分析1 由于三个被开方数的和是常数,可考虑直接使用柯西不等式,则证明失败!分析2 如果将变为这时后面部分式子的三个被开方数的和也是常数,由柯西不等式得证明成功!分析3 如果考虑后面两项利用关系,则得分析4 如果将原式子变为由柯西不等式上面几种方法中,第一种是直接使用柯西不等式,结果失败了,后面三种都是局部使用柯西不等式而保留变量x,最后利用函数的单中学数学研究(广东) 2017年5期2017-04-05
- 柯西不等式及其在高考中的应用
)一、二维形式的柯西不等式形式及其证明设a,b,c,d∈R，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时，取等号.证法一(配方法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2.∵m·n=ac+bd，且m·n=|m||n|cos〈m,n〉，则|m·n|≤|m||n|.∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.证法三(构造二次函数法)设f(x)=(数理化解题研究 2017年34期2017-02-06
- 例谈柯西不等式的实践运用
中学 钱 琳例谈柯西不等式的实践运用☉江苏省宜兴市和桥高级中学钱琳不等式是中学数学的难点，更是竞赛数学的重点.在教材中，基本不等式属于必须要求掌握的最简单的不等式，除此之外，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等在数学中有着极为巧妙的运用，利用这些不等式能够巧妙地解决很多其他相关的知识，体现了不等式的重要价值.柯西不等式和基本不等式类似，其是不等式初学者必须要掌握的，可以这么说，基本不等式与柯西不等式其本质是一致的，但柯西不等式的形式化程度更高.n维柯西不中学数学杂志 2016年10期2016-11-19
- 论柯西不等式在高中数学中的应用
一中学 石福禄论柯西不等式在高中数学中的应用甘肃省靖远县第一中学石福禄柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，在代数、几何等方面应用非常广泛，常常被当做解题基础，可以利用条件快速得出结论。若能够灵活运用柯西不等式，可以使一些问题巧妙地得以解决，我们要适当地构造使用它的条件，以达到最终目的。柯西不等式；变式；应用一、柯西不等式的主要变形公式柯西不等式有多种变形，已经成为现在许多数学理论的出发点。掌握几种常见的柯西不等式的变形，能够让我们对柯西不等式有更全面的数学大世界 2016年15期2016-11-17
- 柯西不等式要点解读
省太和中学 岳峻柯西不等式要点解读安徽省太和中学岳峻柯西不等式是由大数学家柯西发现的经典不等式，它不仅具有简洁、对称的数学美感，而且具有重要的应用价值。灵活巧妙地运用柯西不等式，可以使得一些较难解决的问题迎刃而解。如何破解柯西不等式应用的关键点呢？解题者应立足于已知信息和待求（证）式结构的特征，敏锐地捕捉到这些关键结构，并对这些结构进行分析，分析常量与变量之间的关系，加以思考、处理，灵活应对。一、二维形式的柯西不等式（1）若a、b、c、d都是实数，则（a2青苹果 2016年10期2016-11-02
- 柯西不等式在解题中的应用
346)张雪峰柯西不等式在解题中的应用江苏省连云港市郁林中学(222346)张雪峰1在代数中的应用解：将4a2-2ab+4b2-c=0变形为2c=3(a+b)2+5(a-b)2，由柯西不等式得例2设x、y为实数，若x2+y2+xy，则x+y的最大值是_________.解:将原方程组中的两个方程相加得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，将第一个方程可变形为2x+(3y+3)+(z+2)=18，由柯西不等式得[(2x)2+(3y+3)2](中学数学研究(江西) 2016年8期2016-08-26
- 柯西不等式的巧妙应用
+=1，所以根据柯西不等式得x+y=[（）2+（）2]·[（）2+（）2]≥（+）2，当且仅当·=·，即=时取等号.所以，x+y的最小值为（+）2.小结 柯西不等式很重要，灵活巧妙地运用它，可以使一些较复杂的问题迎刃而解.中学阶段我们常用柯西不等式来证明不等式或求解最值.二、减元法例2 已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=，则z的取值范围是_____.解 由x+y+2z=1，得x+y=1-2z.由x2+y2+2z2=，得x2+y2=高中生·天天向上 2016年1期2016-04-20
- 柯西不等式变式的应用
/覃发岗 宁纪献柯西不等式变式的应用文/覃发岗 宁纪献对柯西不等式基本形式、推论作了归纳，然后给出了其推论的应用。不等式;应用;柯西不等式1.引言柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。它的推论也比较多，本文主要介绍其四个推论及其应用。2.柯西不等式的变式2.1 柯西不等式的基本形式［1］2.2 柯西不等式的变式［2］变式二变式五将柯西不等式两边开平方根即得。3.应用柯西不等式的变式3.1 应用变式一证明由亚太教育 2015年3期2015-07-01
- 柯西不等式及其应用
有重要地位，其中柯西不等式的应用是一种重要的方法.一、柯西不等式设a1，a2，…，an及b1，b2，…，bn是任意实数，则（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n），等号当且仅当b1a1=b2a2=…=bnan时成立（约定ai=0时，bi=0）.二、柯西不等式的应用 不等式的证明在数学中占有重要地位，其中柯西不等式的应用是一种重要的方法.一、柯西理科考试研究·高中 2014年11期2014-11-26
- 柯西不等式的向量形式及其应用