柯西不等式的巧妙应用

崔怀胜

一、结构分析法

例1 已知x，y，a，b均为正数，且+=1，求x+y的最小值.

解 由于x，y，a，b均为正数，且+=1，所以根据柯西不等式得x+y=[（）2+（）2]·[（）2+（）2]≥（+）2，当且仅当·=·，即=时取等号.所以，x+y的最小值为（+）2.

小结 柯西不等式很重要，灵活巧妙地运用它，可以使一些较复杂的问题迎刃而解.中学阶段我们常用柯西不等式来证明不等式或求解最值.

二、减元法

例2 已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=，则z的取值范围是_____.

解 由x+y+2z=1，得x+y=1-2z.由x2+y2+2z2=，得x2+y2=-2z2.由于x+y≤，所以（1-2z）2≤1-4z2，解得0≤z≤.

小结 解本题的关键在于对已知条件进行变形后，利用柯西不等式的变式，得到关于z的不等式.

三、换元法

例3 非负实数x，y，z满足x2+y2+z2+x+2y+3z=，那么x+y+z的最大值为_____.

解 由x2+y2+z2+x+2y+3z=，可得（x+）2+（y+1）2+（z+）2=.

设x+=w，y+1=v，z+=u，可得w2+v2+u2=，x+y+z=w+v+u-3.

由（w+v+u）2≤（12+12+12）（w2+v2+u2）=，可得-≤w+v+u≤，当且仅当w=v=u=时，w+v+u的最大值为，此时x+= y+1= z+.于是可得 -≤x+y+z≤.

所以，x+y+z的最大值为.

小结 解本题的关键是换元后，再利用柯西不等式进行计算.

四、构造法

例4 若x，y，z为实数，且x2+y2+z2=1，求证： -≤xy+yz+xz≤1.

证明 由（x2+y2+z2）2=（x2+y2+z2）（y2+z2+x2）≥（xy+yz+xz）2，x2+y2+z2=1，可知xy+yz+xz≤1.

由（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，可得2（xy+yz+xz）≥-（x2+y2+z2）=-1，即xy+yz+xz≥-.

所以，-≤xy+yz+xz≤1.

小结 我们通常需要对代数式进行适当变形，拼凑出与柯西不等式的一般形式相似的结构，再运用柯西不等式.在运用柯西不等式的过程中，要注意数字或字母的顺序.

（责任编校 冯琪）