例谈柯西不等式的实践运用

☉江苏省宜兴市和桥高级中学　钱　琳

例谈柯西不等式的实践运用

☉江苏省宜兴市和桥高级中学钱琳

不等式是中学数学的难点，更是竞赛数学的重点.在教材中，基本不等式属于必须要求掌握的最简单的不等式，除此之外，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等在数学中有着极为巧妙的运用，利用这些不等式能够巧妙地解决很多其他相关的知识，体现了不等式的重要价值.

柯西不等式和基本不等式类似，其是不等式初学者必须要掌握的，可以这么说，基本不等式与柯西不等式其本质是一致的，但柯西不等式的形式化程度更高.n维柯西不等式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则，当且仅当bi=0（i=1，2，…，n）或存在一个数k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）时，该不等式的等号成立.

它有两个重要推论：

柯西不等式是选修教材的新增内容，对于高考不等式难题有着巧妙的解决，更对竞赛中的不等式有着较大的指导作用，是经典不等式之一，其实践运用在很多内容中均有体现.

一、运用“=”号成立条件巧解不等式

评注：设向量a=（a1，a2，…，an），b=（b1，b2，…，bn），则柯西不等式等号成立的充要条件是向量a与b共线，即b= 0，或当b≠0时，存在唯一实数k，使得a=kb（特别地，当b1，b2，…，bn都不为0时，该充要条件就是当n=2时，该充要条件就是a1b2=a2b1）.

二、巧求函数的最值

例3设a，b，c，d，e，f∈R，且a2+b2+c2=1，d2+e2+f2=2，若p≤ad+be+cf≤q恒成立，求实数p，q的取值范围.

评注：求解“例3”的关键是：发现运用柯西不等式的“推论①”可求ad+be+cf的最小值和最大值，方能巧妙达到求解参数的取值范围之目的.特别注意“例3”的常见错解为，从而（ad+导致这种错误的原因是没有考查该不等式的等号能否成立.实际上，当且仅当该不等式的等号成立.由于该方程组无解，从而该不等式的等号不能成立，因此

三、巧证不等式

例4设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为R.

评注：求解“例4”的关键是：正弦定理与柯西不等式完美结合，柯西不等式使用还需要一定的凑形.

证明：因为a，b，c>0，由柯西不等式可得2（a+b+c）·

b=c时，该不等式的等号成立.

评注：求解“例5”的关键是：发现（a+b）+（b+c）+（c+ a）=2（a+b+c）.

四、巧用柯西不等式求值

例6设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2+b2+c2=10，x2+ y2+z2=40，ax+by+cz=20.则

解析：由柯西不等式得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+ by+cz）2=202，等号成立当且仅当，即a2+b2+c2=k2（x2+y2+z2），即40k2=10，解得k=.又由等比定理得

评注：从问题条件出发，显然具备柯西不等式的凑形，而条件却以等号的形式出现，这自然是对等号成立条件的判断使用成为解题关键.

五、利用柯西不等式求范围

例7设x、y、z∈R，若（x-1）2+（y+2）2+z2=4，则3x-y-2z的范围是多少？又3x-y-2z取最小值时，则x=？

解析：［（x-1）2+（y+2）2+z2］［32+（-1）2+（-2）2］≥（3x-

评注：柯西不等式使用常见步骤需要进行常数的凑配，这是非常典型的使用技巧，有了常数的凑配，不等式的使用相对容易找到所需结论.

六、利用柯西不等式巧解几何问题

例8过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点D、E、F、G、H、I都在△ABC的边上，S1表示六边形DEFGHI的面积，S2表示△ABC的面积.求证

图1　

设BC=a，CA=b，AB=c，IF=x，EH=y，GD=z，那么①式等价于

评注：求解此类问题关键在于等价转化，将平面几何问题用代数式子写出来，再找出柯西不等式所要满足的条件即可.

总之，柯西不等式是中学数学教材选修内容补充的重要不等式，基本不等式其实可以看成是二维柯西不等式的二维特殊形态.通过上述举例，我们不难发现要掌握柯西不等式及其实践运用，要关注下列几点要求：（1）关注柯西不等式二维、三维形态，从简单形式入手去理解和熟练这一重要不等式，文中例1、例2、例5都是其二维形态的使用，这是初学柯西不等式的基本要求；（2）从上述实践问题，我们发现不等式使用的最终目的是为解决最值，而最值取到的重要条件自然是等号成立的时刻，因此柯西不等式学习的另一关键是如何获取等号成立的条件并时时刻刻注意对其正确性的检验，利用等号成立的条件，柯西不等式解决了函数最值、求值、解方程等一系列其他相关知识，体现了知识使用的广阔性；（3）从柯西不等式使用的广阔性，我们不难发现任何重要的数学知识都不是孤立的、单一的存在着，其必定与很多相关知识具备着联系，教师的作用在于帮助学生挖掘知识的联系性，将单一的知识运用到各种不同情境的问题、知识背景中，使知识的使用呈现多样性.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2002.

2.袁泉润.柯西不等式教学的浅析［J］.数学通讯，2013（3）.

3.张玉萍.思想方法对于数学教学的重要性［J］.中国数学教育高中版，2013（7）.