一道高考模拟错题的分析与启示

☉首都师范大学附属云岗中学　冯会哲　郭文华

一道高考模拟错题的分析与启示

☉首都师范大学附属云岗中学冯会哲郭文华

在高三下学期，笔者选用了北京市东城区2015年高三三模试卷数学文科第17题作为课后作业.讲评时，发现该题第三问有两种解法，两个答案.笔者对其进行研究分析，发现该题所给条件不足，不完善，导致了结论的不唯一.本文将详加论说.

一、题目呈现

如图1，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG.

（1）求证：CE⊥BD；

（2）若BC=CD=CE=2AD=2BG=2，求证：AG∥平面BDE；

（3）求几何体EG-ABCD的体积.

（北京市东城区2015年高三三模试卷数学文科第17题）

图1　

二、两种解法，两个答案

此题的第三问，标准答案及部分学生解答如下：如图2，连接BG.由于CD⊥BC，平面ABCD⊥平面BCEG，

平面ABCD∩平面BCEG=BC，所以CD⊥平面BCEG.

同理可证BG⊥平面ABCD.

图2　

也有部分的同学解答如下：

连接AE，AC，如图3.

图3　

学生提出疑问，这两种解法看起来都对，按道理答案应该一样，为什么会是两个答案？哪种解法出错了，错在哪？笔者仔细分析了题目，添加辅助线后两种解法都没有错，而是题目出错了.题目条件给的不严谨，导致了两种解法，两个答案.

三、错因分析及题目修正

1.从图形的角度说明

笔者引导学生，从数的运算来看，数值不同；接下来就从形入手，观察这个几何体的形状.此题所涉及的几何体为多面体，而题目条件描述的多面体并不唯一.见多面体的定义：若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.棱与棱的公共点叫多面体的顶点［1］.

此题虽然各顶点都明确了，但是由哪几个平面多边形围成的？并不明确.此题中直线AE、DG是异面直线.把它们放在棱长为2的正方体模型中，如图4所示.题目所给的相当于从正视图的方向去看，有些学生缺乏空间想象的“火眼金睛”判断不出，笔者借助几何画板，把图4顺时针旋转90°得到图5，相当于换一个视角，从左视图角度去看，学生很容易判断出AE、DG是异面直线.A、D、E、G四点不共面，G点不在面ADE上（图6）；E点不在面ADG上（图7）.而题目并没有给出相邻两个面的公共边，即少给一条棱.所以，涉及这四点的面可能是由面ADE和面AEG围成的（见图8），也有可能是由面DEG和面ADG围成的（见图9）.

图4　

图5　

图6　

图7　

图8　

图9　

学生由于空间想象能力不足，误认为A、D、E、G这四个点是共面的，才会觉得两个解法应该有同一个答案.而该题所给条件能画出两个满足题意的多面体，而这两个多面体的形状是不同的，体积也是不同的.学生的两种解法实际求的是不同的几何体，所以答案是不同的.

2.从理论层面说明

教师引导学生，仅从形上观察出A、D、E、G四点不共面还不够.摆在桌子上的几何体实物，同学们可以围着它从不同角度观察；画在试卷上的几何体，同学们作答时既不方便做到换一个角度去观察它（就像图4到图5），也不能借助几何画板来画图.这就需要我们炼就“火眼金睛”，从题目给的图1上就能看出A、D、E、G四点不共面.这就需要同学们有一定的知识储备，了解相关的理论依据.

带着学生复习以下结论并给出证明.

结论：设a、b是两条异面直线，在直线a上任取两点A、B，在直线b上任取两点C、D，则直线AC、BD仍然是异面直线.

证明：假设直线AC、BD不是异面直线，则AC、BD共面，则AB、CD共面，即a、b共面，这与已知条件a、b是两条异面直线矛盾.所以，假设不成立，所以直线AC、BD是异面直线.

此题中，直线AD、EG是异面直线，显然直线EA、DG是异面直线，若同学们熟悉此结论，很容易根据题干中图1判断出A、D、E、G这四个点是不共面的，这个多面体的形状没描述清楚，体积不唯一.

3.题目的修正

题目的修正，包括两部分：图形的修正和题干部分的修正.图形部分需要再添加一条棱，AE或DG，就能确定几何体的形状，答案也就唯一了.

题干文字部分也需要改，第（2）问的条件之前有“若”字，这说明条件只适用这一问.条件“BC=CD=CE=2AD= 2BG=2”出现在题干中，第（3）问才可以用.这也是学生易错点，是该强调的地方.平时练习中，不少学生误把小前提的条件用到下一问，而惋惜失分.

所以本题题干文字部分应该改为：

如图1，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG.BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求证：CE⊥BD；

（2）求证：AG∥平面BDE；

（3）求几何体EG-ABCD的体积.

或改为：如图1，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG.

（1）求证：CE⊥BD.

（2）若BC=CD=CE=2AD=2BG=2，

①求证：AG∥平面BDE；

②求几何体的体积.

四、几点启示

1.重视概念

学生用两种方法，得到两个答案之后，找不出问题出在哪里.笔者讲评时指出实质是学生对多面体的概念掌握得不牢.误以为多面体的顶点确定了，几何体的形状就确定了.实质上，围成多面体的平面多边形确定了，几何体的形状才能确定.最终是回归定义之后，问题才得以解决.笔者强调，高三的后期复习，学生不仅要做题，也要回归课本，熟悉基本的概念、定义.

2.强调长方体模型的重要作用

A、D、E、G这四个点是不共面的，过E作AD的平行线EF，G点不在面ADEF上.通过以下图10和图11的对比，学生很清楚地看到借助长方体模型更直观.在这个题的分析过程中，学生多次感受到以长方体模型为载体，更直观、更好理解.笔者适时强调长方体模型的工具性作用.长方体是立体几何学习中的基本几何体，其中蕴含了点、线、面的对称、相等、平行、垂直等数量和位置关系，是展开空间想象的重要载体.

图10　

图11　

为了突出长方体模型的重要作用，笔者拿前两天学生刚做过的一道高考题举例说明.

（2014·湖北卷文7）在如图12所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

图12　

A.①和②B.①和③C.③和②D.④和②

这道题与以往的三视图题目不同，以往的几何体大多数都是水平放置的，而这个四面体是架空在空间的，考查学生的空间想象能力.学生凭空去想，很难想象出这个几何体的形状和它的三视图，而借助正方体模型，如图13，有了三视图需要的几个投影面，和与这些面垂直、平行的线，三视图则迎刃而解.有学生感叹：我们没有空间想象的“火眼金睛”，然而何其有幸，我们有长方体模型.文［3］中也强调了长方体作为背景模型在解题中的奇效，利用长方体模型，提升了学生的空间想象能力.

图13　

在教学中遇见了错题，笔者并没有直接翻篇到下一题，也没有一带而过.笔者引导学生从数的角度对比了计算结果，利用几何画板，让学生从形的角度直观感受了原因，再上升到理论层面，给出理论支撑.讲完，学生感到很有收获.错题有错题的价值.通过这个题，学生认识到后续的复习应该多注意概念，也对长方体模型的工具作用有了更深刻的体会.

1.普通高中课程标准实验教科书数学必修2［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.刘岳.一道中考错题的分析与启示［J］.中学数学教学参考（中），2015（1-2）.

3.金伟兵.题高一尺技高一丈——立体几何三视图、直观图新题“破题法门”［J］.中学数学（上），2015（3）.