表面积和体积的计算

◎相 辉

我们学习长方体和正方体时，经常会遇到求它们表面积和体积的问题。我们要结合条件，仔细观察、思考，发挥空间想象力，将空间的位置关系转化成平面的位置关系，找出解题的路径。

【例1】一个长方体的正面和上面的面积之和是209平方厘米，除此以外，这个长方体的长、宽和高都是整厘米数且都是质数。这个长方体的表面积和体积分别是多少？

【思路分析】要求长方体的表面积和体积，通常要知道长方体的长、宽和高。根据条件“长方体的正面和上面的面积之和是209平方厘米”和乘法分配律可以知道长×高+长×宽=长×（高+宽）=209。已知“长方体的长、宽和高都是整厘米数且都是质数”，因为11×19=11×（17+2），所以长方体的长是11 厘米、高是17厘米、宽是2厘米。

解：由209=11×19=11×（17+2）可知长方体的长=11 厘米、宽=2 厘米、高=17厘米。

长方体的表面积：（11×2+11×17+2×17）×2=486（平方厘米）

长方体的体积：11×2×17=374（立方厘米）

答：这个长方体的表面积和体积分别是486平方厘米和374立方厘米。

【例2】一个长方体，如果长减少3 分米，体积就减少60 立方分米；如果宽减少2分米，体积就减少48立方分米。已知这个长方体的高是5分米，这个长方体的表面积和体积各是多少？

【思路分析】根据条件“一个长方体，如果长减少3 分米，体积就减少60 立方分米”，可以求出长方体左面或右面的面积，即宽×高，再结合长方体的高是5分米，就能求出长方体的宽。同样根据“如果宽减少2 分米，体积就减少48 立方分米”，可以求出长方体前面或后面的面积，即长×高，再结合长方体的高是5分米，就能求出长方体的长。

解：长方体左面或右面的面积：60÷3=20（平方分米）

长方体的宽：20÷5=4（分米）

长方体前面或后面的面积：48÷2=24（平方分米）

长方体的长：24÷5=4.8（分米）

长方体的表面积：（4.8×4+4.8×5+4×5）×2=126.4（平方分米）

长方体的体积：4.8×4×5=96（立方分米）

答：这个长方体的表面积是126.4平方分米，体积是96立方分米。

【挑战自我】一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为114 平方厘米，锯下一个最大的正方体后，剩余部分表面积为50 平方厘米。求锯下的最大正方体的表面积与体积。