柯西不等式在解题中的应用

江苏省连云港市郁林中学　(222346)

张雪峰



柯西不等式在解题中的应用

江苏省连云港市郁林中学(222346)

张雪峰

1在代数中的应用

解：将4a2-2ab+4b2-c=0变形为2c=3(a+b)2+5(a-b)2，由柯西不等式得

例2设x、y为实数，若x2+y2+xy，则x+y的最大值是_________.

解:将原方程组中的两个方程相加得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，将第一个方程可变形为2x+(3y+3)+(z+2)=18，由柯西不等式得[(2x)2+(3y+3)2](12+12)≥[2x+(3y+3)]2，所以 2[108-(z+2)2]≥[18-(z+2)2]2，所以 (z-4)2≤0，解得z=4，由柯西不等式成立的条件可得x=3，y=1，所以x=3，y=1，z=4.

2在函数中的应用

3在三角函数中的应用

解:由柯西不等式，得

4在不等式中的应用

例7已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.

(1)求a的值；

(2)若p，q，r是正实数，且满足p+q+r =a，求证p2+q2+r2≥3.

解：(1)略.

(2)由(1)知p+q+r =3，又因为p，q，r是正实数，所以由柯西不等式得(12+12+12)(p2+q2+r2)≥(1·p+1·q+1·r)2=(p+q+r)2=9，即p2+q2+r2≥3.

解:由柯西不等式知

5在圆锥曲线中的应用

6在平面几何中的应用

例10在平面直角坐标系中,已知点A(1，-2)，B(4，0)，P(a，1)，N(a+1，1)，则当四边形PABN的周长最小时，过三点A，P，N的圆的圆心坐标是_________.

7巧证课本上的公式