柯西不等式的推论的应用

刘振兴

(广东省佛山市第一中学 528000 )

一、柯西不等式及其推论

柯西不等式:设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则

当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

推论1:设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),则

当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

二、柯西不等式的推论的应用

由推论1得

∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2

对例1可进行维数的推广.

维数的推广:

设ai∈R(i=1,2,…,n),

证明根据柯西不等式，类似例1过程得

在解决有些不等式问题时,我们要多次使用柯西不等式的推论.

解由推论1得

令a2+b2+c2=x,

由推论1得

所以f(x)在[3,+)上单调递增.

对例2可进行如下推广.

(1)维数的推广:

(2)幂的推广:

(3)线性推广:

综合(1),(2),(3)可得一般性推广,并给出证明.

证明由推论1得

参考文献：

[1]卓书月.柯西不等式及其变式的应用[J].民营科技,2011(9):78,162.