柯西不等式的证明及应用

黄韬+顾华强

【摘要】在高中的数学学习过程中，不等式的变形是非常巧妙以及神奇的，特別是柯西不等式，柯西不等式作为一种高中数学学习非常重要的不等式，当ai，bi∈R（i=1，2，…，n）时，∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，其中等号成立的条件是当数组a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不完全等于0时.灵活地应用柯西不等式，能够解决一些看似比较困难以及复杂的问题.本文给出了几种较为典型的证明柯西不等式的方法，然后列举了几种柯西不等式的一般式、二维形式、向量形式以及三角形式，最后介绍了在几种类型的解题过程中柯西不等式的应用，主要包括证明不等式、求函数极值、求解方程以及解三角与几何问题等方面，表现出柯西不等式的应用具有非常大的广泛性.endprint