浅谈线性方程组与线性空间的联系

马思遥+宫春梅

【摘要】本文通过线性方程组求解这一问题的提出、分析和理论的建立，展现了其与线性代数若干基本概念——矩阵、行列式、n元向量、向量组的线性相关性之间的关系，更进一步探讨了线性方程组解的几何结构和几何意义与线性空间、双线性空间的联系.这为学习线性方程组理论和代数理论体系提供一条重要思路.

【关键词】线性方程组；矩阵；行列式；n元向量；线性空间

【基金项目】陕西省教育厅专项科学基金（15JK1411）；西安建筑科技大學专业骨干课程建设（1609217071）；西安建筑科技大学校级教改项目（6040417086）.

一、引 言

讨论线性方程组的一般理论，从中找出规律性的东西，是讨论线性方程组求解问题的基础，也是线性代数的主要研究课题.线性方程组求解这一问题的提出、分析和理论的建立串联起矩阵代数、行列式、n元向量、向量组的线性相关性等若干线性代数基本概念.线性代数基本概念也是高等代数的主要概念，在代数理论的进一步学习中，线性空间和双线性空间这两个重要的抽象概念体现出它所涵盖内容的广泛和所反映事物本质的深刻.关于线性方程组解的几何特性，线性空间和双线性空间给出了最好的解释.在本文末，关于线性方程组的可解性的讨论中，我们又提到了欧几里得空间，说明线性方程组无解时，在欧几里得空间中可通过最小二乘法给出最小二乘解的代数条件.

五、小 结

线性方程组理论在线性代数历史发展过程中具有重要的地位.最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，而实际问题又刺激了线性代数这一学科的诞生与发展.本文通过线性方程组解这一问题的提出、分析和不同角度的讨论，让我们看到线性方程组理论的发展不仅促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，线性空间、双线性空间理论也能够很好地解释线性方程组解的几何意义，欧几里得空间上的最小二乘解又进一步突破了线性方程组的可解性的讨论.因此，讨论线性方程组解的一系列工作，不仅让我们掌握了线性代数中这些重要概念，更是通过线性方程组解的讨论这一主线串联起线性代数中重要概念之间的联系.随着计算机应用的普及，计算数学对线性方程组的数值解法也取得了很大的进展，这将使得线性方程组理论更加完善.

【参考文献】

[1]北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组.高等代数：第3版[M].北京：高等教育出版社，2013.

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