活跃在竞赛题中的柯西不等式*

朱小扣

(安徽省无为第三中学城北校区，238300)

在竞赛中,柯西不等式对不等式的证明与求代数式的最值有着十分重要的作用. 与此同时,柯西不等式经常也与其他不等式结合使用,能解决很多有难度的试题. 本文旨在帮助同学们突破有关柯西不等式运用的难点和热点问题.

一、柯西不等式的直接运用

例1(2018年河北初赛题)若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,则zmax+zmin=______.

分析视z为参数并移项,再使用柯西不等式得不等式,可使问题获解.

例3(2018年河南初赛题)已知cos(α+β)=cosα+cosβ,试求cosα的最大值.

二、柯西不等式与待定系数法综合

运用柯西不等式结合待定系数法可以解决很多最值问题.待定系数法配凑系数是很有技巧性的,可进一步延拓柯西不等式的解题范围.

=12.

评注利用待定系数法与柯西不等式是解决此类问题常用的方法.此法不仅可以含两个根号的函数的最大值,只要用法得当,还可以求出含多个根号的函数的最大值.

三、与其它不等式综合使用

1.先用其他的不等式预处理,再用柯西不等式证明

评注本题无法直接用柯西不等式,必须用其他不等式预处理,转化为利于应用柯西不等式的形式. 又如:

例8(数学通讯问题306)已知正数a，b，c满足abc=1,求证:

评析当我们看到一题无法直接用柯西不等式解决时,不能放弃柯西不等式,要想到先运用均值不等式,配方等方法预处理后,再用柯西不等式试试.

2. 先用柯西不等式预处理,再用其他不等式证明

≥2(ab+bc+ca).

①

令a=x2,b=y2,c=z2,则由舒尔不等式及均值不等式,得

故原不等式成立.

证明用数学归纳法.

(1)当n=1时,结论显然成立.

由柯西不等式,可得

综上,对任意非负数a1,a2,…,an,结论都成立.

评注在解决一道难题时,也可用柯西不等式先预处理,再用其他的方法如数学归纳法去证明.这体现了考查柯西不等式与其他不等式知识的交汇.因此,我们必须要掌握好柯西不等式.