应用斜三角形的一条性质解题

陈万龙

(湖南省华容县第二中学，414215)

性质在斜三角形ABC中,恒有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

①

由两角和的正切公式,易证斜三角形具有的如上性质.恰当灵活应用① 式,能快速有效处理斜三角形的某些问题.

评注本题由条件及① 式通过消元直接求得tanB,再从整体上用tanB来表示AB边上的高,给问题求解提供了新思路.

tanAtanBtanC=tan3B.

利用① 式,可得

tanAtanBtanC

=tanA+tanB+tanC

又由a2+c2-ac=4,且a=c,可得a=c=b=2.

评注本题处理的关键是求B的最小值,利用① 式与基本不等式找到了解决问题的途径；再在B取得最小值的前提下来处理三角形面积的最大值,根据余弦定理与基本不等式使问题得到了圆满的解决.

解由数量积的定义,知题设等式可化为bccosA+2accosB=3abcosC；再由正弦定理,得sinBsinCcosA+2sinAsinCcosB=3sinAsinBcosC,即

由① 式与上式消去tanA,整理可得

(tan2C-3)tan2B-2tanCtanB+2tan2C=0.

评注本题利用方程思想来处理问题,解答过程与参考答案完全不一样,可以算得上是有意义的事情.不过,此法对计算能力要求较高.

评注熟悉三角形五心的有关向量恒等式,是迅速求解本题的关键.而① 式的应用,更是加快了问题的求解过程.

练习

1.(2016年江苏高考题)在锐角∆ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是______.