四边形面积坐标公式的推导与应用*

黄贤锋

(江西省萍乡市萍乡中学，337000)

一、 问题的提出

北师大版教材《数学(必修5)》第48页有这样一道例题,我们不妨把它作为本文的结论1(三角形面积的坐标公式).

一般而言,要求四边形的面积,通常采用将四边形分割为几个三角形,通过求三角形面积,最终求得四边形的面积.受结论1的启发,我们能不能类比三角形面积的坐标公式,得到四边形面积的坐标公式呢?

二、 四边形面积的坐标公式

经过笔者的探究,成功获得了如下较为简洁的四边形面积的坐标公式.

证明分别过点A，C作BD的平行线,过点B，D作AC的平行线,构成平行四边形EFGH.

评注结论2的坐标公式结构优美、简单易记,其实质为任意平面四边形的面积等于其对角线“张成”的三角形面积.

三、应用举例

(1)证明:直线AB过定点;

(2)联立直线AB与抛物线C的方程,得x2-2mx-1=0,则x1+x2=2m,x1x2=-1.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设A、B为椭圆E短轴的两端点,记四边形MABN的面积为S,求S的最大值.

(1)求C1，C2的方程;

(2)过焦点F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点.当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.

所以当n=0时,Smin=2.故四边形APBQ面积的最小值为2.

四、 结束语

结论2给出的平面四边形面积的坐标公式,通过坐标的代数运算来解决几何问题,这与解析几何的思想是一致的.引入四边形的坐标公式,可以避免分析四边形的几何特征,突破传统的将四边形分割为多个三角形来解决四边形面积问题的解题模式.