从立体几何定理教学谈数学核心素养的落实——以“直线与平面垂直的判定”一节课的教学为例

张 辉

(北京市陈经纶中学，100020)

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科,包含了研究空间点、线、面之间的位置关系. 线面垂直的位置关系在日常生活中被广泛地应用,它联结着线线垂直和面面垂直,很有必要深入地进行研究. “直线与平面垂直的判定”这一节课的主要内容是研究线面垂直的定义、判定定理,这些定义、定理内容相对比较抽象. 本文以这节课教学环节的设计与实施为例,谈谈如何降低定义、定理的抽象性,借助直观想象引导学生应用数学逻辑,加深对定义、定理的理解,从而将落实数学核心素养融入到课堂教学的实践中.

一、借助生活素材生成定义

片段1概念引入

请学生观察:

(1)观察天安门广场五星红旗的图片(图1);

(2)观察身边的实例:学生将书打开直立于桌面,观察书脊与桌面的位置关系(图2).

问题1如何定义一条直线与一个平面垂直?(稍作停顿但不急于说出答案)

问题2早晨阳光下,旗杆与它在地面的影子所成角度是多少(图3)?(学生都能回答90°)

问题3如图3，随着太阳的移动(借助动画演示),不同位置的影子与旗杆的角度是否会发生改变?(引导学生发现旗杆始终与地面的影子保持垂直)

问题4旗杆与地面内任意一条不经过旗杆底端位置的直线关系如何?(引导学生发现:旗杆所在的直线与地面内任意一条直线都垂直,学生感知旗杆与地面垂直)

问题5如图2,大家将自己手中的数学书打开直立在桌面上,观察书脊(抽象成一条直线)与桌面的位置关系是什么?(学生可以得出书脊与桌面垂直)

师(继续追问):此时书脊与每一页书和桌面的交线是什么位置关系?(学生通过操作、观察、发现得出书脊与交线垂直)

设计意图以熟悉的旗杆、书脊为例,通过演示或者操作,引导学生观察旗杆与旗杆在地面的影子,书脊所在直线与每一页书和桌面的交线所在直线的位置关系.在这个过程中，学生不难发现旗杆与地面垂直,通过分析太阳转动导致影子不同来体会直线与地面上的任意一条直线都垂直.不断启发学生观察、分析、联想、抽象、归纳，概括出直线与平面垂直的定义,这些都体现了从直观想象到数学抽象这些核心素养在课堂教学中的有效落实.

在寻找素材引入课题时,要尽量寻找学生熟悉的、与生活相关的素材,这样便于学生理解较为抽象的定义,降低其抽象性.[1]从日常生活中寻找相关素材,据此构建模型,对直观图形进行有效抽象,对几何思想进行有效渗透.创设良好的问题情境能够实现对学生数学逻辑思维的有效启发，问题3和问题4就是按照学生的认知规律逐步递进式提问,为定义中提炼出“任意一条直线”做好了铺垫. 这样的设问,紧扣了定义的本质,从而使学生更好地理解数学定义，完成了从直观想象到数学抽象这一过程.

片段2概念辨析

问题6如图4,直线l与平面α垂直吗?

问题7平面α内可以找到一条直线与l垂直吗?能找到几条?(参看图5)

设计意图过斜足可以找到直线m与l垂直(可以用三角板来进行演示),进而发现无数条与直线m平行的直线也与l垂直,从而感悟到尽管直线l与平面内的无数条直线都垂直,但直线l不一定与平面α垂直.以此说明定义中的“任意”不同于“无数”,通过对问题6，7与问题1-5进行比较,体验它们之间的区别和联系，进一步深化学生数学抽象的核心素养.

二、借助动手实验确认定理

片段3动手操作

请同学们拿出准备好的三角形纸片∆ABC,通过折叠等方式探究直线与平面内几条直线垂直能推出直线与平面垂直?

给学生时间讨论并展示,学生讨论后分折出以下三种(图6—8)形式.

问题8针对图6，图7,当折痕AD有什么特征才能保证折痕与桌面垂直?

生 沿着底边上的高折叠,折痕与桌面垂直，即当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直.

问题9还有其它的折法也能保证折痕与桌面垂直吗?

学生经过实验、讨论分折图8的情形，由此可以发现下面的结论.

定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

设计意图在设计此实验时,没有完全按照书上说的“过∆ABC的顶点A翻折”,而是通过设置具有一定的开放性的问题,真正做到在学生的最近发展区设问,极大程度地调动了学生的学习积极性和主动性. 在实验操作过程中，学生通过手、脑、口并用来获取知识,发挥了学生的主体地位,提高了学生的合情推理能力.

三、借助逻辑推理证明定理

对于一个定理的认识借助直观想象很重要,但更重要的是利用逻辑推理,将所发现的结论进行严格证明. 本节课选择利用向量这一强有力的工具对定理加以证明,以保证学生从定理产生到认同的合理性.

片段4定理证明

基于以上操作，师生共同合作，将定理表征为如下命题，并利用逻辑推理对其进行严格证明.

命题已知直线m，n是平面α内的两条相交直线,如果l⊥m,l⊥n,求证:l⊥α.

分析要证明l⊥α,就是要证明l垂直于α内的任何一条直线g(直线和平面垂直的定义).如果我们能在g和m，n间建立某种联系,并由l⊥m,l⊥n得到l⊥g,就能解决此问题.

证明在平面α内作任一直线g,分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因m与n相交,故向量m，n不平行,由共面向量定理，存在唯一实数对(x,y),使g=xm+yn.

由条件知l⊥m,l⊥n，故l·m=l·n=0，得l·g=x(l·m)+y(l·n)=0，从而l⊥g.于是l⊥α.

设计意图运用向量法证明线面垂直的判定定理,体会证明过程中向量位置关系与向量数量关系之间的转化,体验向量数量积运算是证明的核心,夯实数学运算能力.此教学环节意在使得学生对定理的学习更加完整，也使得逻辑推理这一核心素养能够很好地落实.

四、借助课堂练习深化定理

片段5练习讲解

1.如图9，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断:

(1)直线AD与哪些平面垂直?

(2)直线CC1与哪些平面垂直?

(3)直线AD1与哪些平面垂直？

2.如图10,PA垂直于圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?

3.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件______时,有AB1⊥BC1. (注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情况)

设计意图长方体、正方体是立体几何的“百宝箱”,其中有着丰富的直观的位置关系,是学生“心有模型”的源头.笔者以此为起点，通过三个练习增强学生的识图能力,用定理理解图形中空间元素的位置关系.在设计上采用了开放式问题,便于学生对概念的深刻理解，使数学建模意识得到落实.

五、借助课堂小结反思提升

片段6归纳小结

(归纳小结以问题的形式加以呈现)

1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识与方法?

2.直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法?

3.谈谈你在探求直线与平面垂直的判定定理时的收获和体会，归纳出研究该节课定理的“路线图”.

设计意图小结是帮助学生对整节课的知识、方法、研究路径加以回顾,帮助学生形成一条研究路线,体会立体几何定理学习的一般方法.一方面让学生对于直线与平面垂直的定义和判定定理有清楚的认知;另一方面也让学生体会本节课中用到的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养;清晰研究数学问题的基本途径以及转化与化归等数学思想,是课堂不可或缺的环节.