函数中双变量问题的解题策略

胡广宏 夏丽娟

(江苏省前黄高级中学国际分校，213161)

函数中的双变量问题是高中数学经常考查的重要知识点之一.它常以填空题中的中档题或难题出现,解答题中也会以压轴题的形式出现在试卷中.由于题目中变量较多,学生往往不知所措,无从下手,给学生解题带来了很大的困扰．本文以高考或模考中常见的几种双变量问题为例,分析此类问题的解题策略．

一、变换主元

例1若2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立,求x的取值范围．

评注本题主要考查恒成立问题,若以x为主元，从正面直接处理，过程较复杂；而采用变换主元的方法，从一元函数图象入手，避开了难点，使问题轻松获解．

二、化归函数最值模型

对函数中“任意存在型”双变量不等关系问题，要善于数形结合，通常根据函数的图象及时转化为两函数最值比较问题.

三、消元

1.用等量关系消元

例3已知分段函数

如果存在实数m,n(m

解,结合f(x)的图象(如图7)，知f(x)=a恰有三个不同的实数解,由图7可知,实数a的取值范围是(1,2).

评注本题求解的关键是利用f(m)=f(n)消元,将问题转化为求一元函数g(n)的值域去解决．在解决问题的过程中,需关注自变量的取值范围，防止出错．

2.通过解析式恒等变形消元

评注此题求解的关键在于去掉绝对值符号,故先考虑函数f(x)及x2的单调性,去掉绝对值符号后,再进一步调整表达式,达到消元构造新函数来解题的目的．

3.用换元法消元

证明依题意，只需证lnx1+lnx2>2.

可得lnx1+lnx2

综上,可得lnx1+lnx2>2,即x1x2>e2.

评注本题属于极值点偏移问题,处理的方法很多,也可以构造函数,用函数的单调性去处理．