根号
- 一道2022年江西预赛试题的多解探究与变式
是将不等式每一项根号下未知数的幂从“1”变为“2”得到.评注：此变式是将不等式每一项根号下的未知数的系数和常数项改变得到.评注：此变式是通过改变不等式每一项的幂得到.评注：此变式是通过改变不等式每一项根号下的代数式的结构得到,将每一项根号下未知数的个数从“1”元变为“2”元.评注：此变式是通过改变不等式每一项根号下的未知数的幂和系数得到.3.2 四元形式的变式上述变式7到变式12均是在变式1到变式6的基础上改变的,将未知数的个数从“3”元变到“4”元,变式
中学数学研究(江西) 2023年11期2023-11-10
- 逆向思维寻规律
[42]中，有带根号的数，还有无根号的数，而带根号的数又都是无理数，如此杂乱无章让我们难有头绪. 此时，不妨利用a = [a2]（a ≥ 0），给无根号的正整数“配”上根号，将系数不为1的二次根式化成系数为1的二次根式，所有数都化为二次根式的形式，且系数为1.解：由a = [a2]（a ≥ 0），得2 = [4]，[22] = [22×2] = [8]，[23] = [22×3] = [12]，4 = [16]，[27] = [22×7] = [28].
初中生学习指导·提升版 2023年2期2023-05-13
- 解读隐含条件，避免化简出错
生1 的思路是先根号内通分，然后代入x、y的值，但在计算过程中处理分数的运算出错（最后两步出错）；学生2 的主要思路是根号内通分，配成完全平方式后化为最简二次根式，但第二步就出错，因为将根号内（x-y）2开方时没有加绝对值，即| |x-y，而是跳步骤直接写成了x-y，从而出现“高位错误”，究其原因是忽略了x、y的值已被确定，x-y是一个负数。我们可以发现，学生1若不是计算出错，应该能获得正确结果（答案为1）；而学生2是对二次根式性质的理解不够透彻，忽略了对
初中生世界 2023年11期2023-04-12
- 解析2020年波兰数学奥林匹克不等式试题
．②式与①式均有根号，如何“去根号”？方法1 由均值不等式，得同理，累加后再用均值不等式，得即②式成立．方法2 由柯西不等式，得同理，累加后再用均值不等式，得即②式成立．方法3 两边平方去掉一些根号，得到等价的④．注意到ABC=1，所以而于是]≥2×从而④式成立，故②式亦成立．上面用最普通的方法将不等式化为尽可能简单的④式，然后利用ABC=1及均值不等式导出结果．这是一个训练学生基本运算能力的好题．计划简单，在教师的帮助下，实现也不困难．练习1(自编) 已
中学数学杂志 2022年8期2022-11-14
- 怎样运用二次根式的非负性解题
根式时，有时需将根号外的式子移入根号内，以使式子的化简更为顺利.如果根号外的式子为非负值，可以将其平方后移入根号内，根号前的符号不发生改变;如果根号外的式子为负值，那么要先将它变号，再平方后移入根号内.例5分析：解：通过上面的几个例题我们知道，二次根式的非负性是我们寻找解题思路的突破口.因此，我们要充分挖掘二次根式问題中隐含的非负性的条件，从而准确又迅速地完成解题.
语数外学习·初中版 2022年1期2022-05-30
- 印刷体数学字符根号的识别算法
可达98%.1 根号几何特征分析字符识别通常采用比对算法,即将分割好的单字符与字模比对,取方差最小字模为识别结果.但此方法对根号的识别非常困难,这是因为根号长短不一、高低不同,难以用通常的比对方法进行识别.不同于手写数学公式,印刷体数学公式书写相对规范,几何特质明显,因此可考虑通过根号的几何特征来实现精准识别.定义1设X为一个数学公式二值化图片,按照从上到下,从左到右的统计原则,第一个黑色像素点坐标(xup,yup)称为X的上角点,最后一个黑色像素点坐标(
上海工程技术大学学报 2020年2期2020-10-18
- 例题延展深化变式
，【解析】例1中根号里面是具体的数字，而变式含有未知数。例1和變式均考查a2=|a|，故（x-5）2+（x-3）2=|x-5|+|x-3|，但此题中x没有给出相应的范围，所以需要对x进行分类讨论。显然，x=5和x=3是分界点，所以需要分以下三种情况进行讨论：1当x2当3≤x≤5时，原式=-（x-5）+x-3=-x+5+x-3=2;3当x>5时，原式=x-5+x-3=2x-8。例2把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号里：（1）23;（2）-32。【解析
初中生世界·八年级 2020年8期2020-09-06
- 挖掘隐含条件 走出化简误区
跳步。【点评】当根号外的数是负数时，把负号留在根号外，然后将这个数的平方移到根号内，即ab=-（-a）b=-（-a）2b=-a2b（a0）。二、未充分挖掘隐含条件例4已知xy【错解】x2y=x2·y=xy。【错因分析】由xy0、y0、y0。【错因分析】对x>2y这一条件的分析不够，导致化简时错误地认为y>0。由x>2y可知2y-x用错公式a2=|a|大都在a为负数的时候，因此判断a的符号往往是解决问题的关键。而具体问题中，判断a的符号往往与“二次根式有意义
初中生世界·八年级 2020年8期2020-09-06
- 巧用三角换元求解根式函数问题
难就难在如何消除根号，下面介绍一类用三角代换解决的根式函数的问题。解求得-1≤x≤1所以可设x=cosθ(0≤θ≤π)∵0≤θ≤π例2已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd的值.解由已知可设：a=cosα,b=sinα;c=cosβ,d=sinβ所以ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=0∴ab+cd=cosαsinα+cosβsinβ=0∴函数的值域为[1,2]解要证原不等式成立，≤2所以原不等式成立
数理化解题研究 2019年34期2019-12-19
- 沙特阿拉伯JBMO不等式的两个漂亮证法
道不等式，左边有根号而右边没有，因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.对任意实数x,y，我们有x2+y2≥2xy，则2(x2+y2)≥(x+y)2，于是所以(ab+bc+ca-1)+(a+b+c-1)≥a+b+c+1，评注本解法根据四川熊昌进老师在《爱数集合》群里交流的解法整理而成.本解法首先根据题目结构特征构造复数，然后通过复数运算和模的性质，将所证不等式左边根号内的式子恒等变形为平方和的形式，接着用重要不等式的变式(即均值不等
中学数学教学 2018年5期2018-10-24
- 解析二次根式中的常见错误
把[a-1a]中根号外的因式移到根号内后，得（ ）.A.[-a] B.[-a]C.[a] D.[--a]【错解】[a-1a]=[a2-1a]=[-a]，故答案选A.【分析】错解忽视了二次根式中[-1a]≥0的条件.由二次根式的定义[-1a]≥0，知a<0.所以[a-1a]<0.故当a移到根号内时，应在根号前面加负号.【正解】[a-1a]=[-a2-1a]=[--a]，故答案选D.五、忽视字母的正负性【例5】已知：a=[12+3]，求[a2-2a+1a2-a
初中生世界·八年级 2018年7期2018-09-10
- 例谈竞赛中含根号问题的解法
式，可以将含多个根号的数，逐步去根号，得到最终的答案，但是前提是知道根号下的数到底是什么数的平方，这才是关键.必需不断的做题，练习，总结.三、利用合情推理……评析合情推理是波利亚的"启发法"中的一个推理模式2.就是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推出可能性结论的推理．要做此类题时，一定要大胆猜想，通过对前几项根号的逐步计算，通过合情推理，得出最终的结论.四、利用完全立方公式：a+b3=a3+b
数理化解题研究 2018年20期2018-08-15
- 带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计
献[1]讨论了带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性，本文在此基础上进一步讨论带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计。关键词：带根号Riemann边值逆问题；摄动；稳定性中图分类号：O175.8 文献标识码：A1 边界曲线摄动后Riemann边值逆问题的提出与求解文献[2]提出了以下一类带根号Riemann边值逆问题：设L为复平面中一条封闭光滑曲线，求一对函数Ψz，wt，其中Ψz是以L为跳跃曲线的全纯函数，wt为L上的H类函数，满
科技风 2018年26期2018-05-14
- “无理数”概念再辨析
数.易错点2 带根号的数未必是无理数，不带根号的数也可能是无理数.【辨析】正确.像[4]和[273]这样的数虽然带根号，但因其结果都为有理数，即[4]=2，[273]=3，故其为有理数.相反，有些数虽然不带根号，因其无限不循环，则其为无理数，如0.1010010001…就是无理数.易错点3 [227]是无理数，因其不循环.【辨析】不正确.事实上，[227]=3.142857…该数不是不循环，只不过其循环节较大，事实上所有的分数都为有理数，都可化为循环小数的
初中生世界·八年级 2017年12期2018-01-09
- 一类二元接龙函数极值问题的构造性解法及推广
y+g中的后一个根号内的第一项是前一个根号内的末项，从第二项起至倒数第二项止，根号内的第二项是该根号内两个变量积的倍数.把形如这样的函数称之为接龙函数.求这类接龙函数的极值问题，无论是采用常规的初等数学方法，还是采用高等数学的微分法都很难奏效，本文将借助余弦定理，采用数形结合的构造性方法，给出接龙函数F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g在给定条件下的最值定理，并加以推广.定理1 若a，c，e，g∈R+，且Δ1=4ca-b
数学学习与研究 2018年19期2018-01-07
- 从一个无理数的证明谈起
中，关键是要减少根号的个数，从而促使问题的迅速转化.与命题1的上述新证法相比，尽管文[1]的证明思路也是如此，但它有两点不当之处：一是假设“n+n+1+n+2=ab”；二是把“n+n+1+n+2=ab”化为“n+1=ab-（n+n+2）”，然后通过平方去掉左边的根号.前者虽然是用反证法证明一个数为无理数时常用的假设形式，但根据命题1所含根号较多的特点，证明的关键在于要减少根号的个数，而不是要考察整数a与b之间的关系，反倒是“ab”使问题的形式更加复杂化了；
中学数学杂志(初中版) 2017年6期2018-01-05
- 二次根式高频错题解析
.五、将二次根式根号外的因式移到根号内例5 把x[-1x] 根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）.A.[x] B.[-x]C.[-x] D.[--x]【错解】A或B.【分析】本题首先根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，得到[-1x≥0]，∴x<0.化简的时候有两种方法：一是将[-1x]化简为最简二次根式，再与根号外的x相乘；二是把根号外的x移到根号内.【解答】由题意知：x<0，方法一：[x-1x=x1·-x-x·-x=x-x-x2]=[x
初中生世界·八年级 2017年7期2017-09-04
- “无理数”概念再辨析
数.易错点2 带根号的数未必是无理数，不带根号的数也可能是无理数.【辨析】正确.像 4和327这样的数虽然带根号，但因其结果都为有理数，即 4=2，=3，故其为有理数.相反，有些数虽然不带根号，因其无限不循环，则其为无理数，如0.1010010001…就是无理数.易错点4 有理数和无理数的个数不可比较多少.【辨析】正确.因二者都有无限个数，故不能比较其个数的多少.易错点5 无理数也分正无理数、0和负无理数.【辨析】不正确.因为0属于有理数的范畴，无理数可分
初中生世界 2017年46期2017-02-25
- 构造向量求解几类根式的最值问题
点评 本例中两个根号中的x的系数不是相反数，为了使所构造的向量b满足|b|是常数，需要对各根式的系数适当搭配，这是求解中的难点，应特别关注.点评 所设的a和b，一方面有y=a·b+c,另一方面应满足|a|和|b|都是常数，因此要结合根号中的式子，对根号外式子的系数进行适当的配凑.这是求解这种类型函数最值的关键所在.我们再看一例，加以体会.点评 本例是两个根式和的形式，所构造的两个向量a与b要满足两个条件；(1)a+b是常向量；(2)a与b应同向.这样才能保
数理化解题研究 2016年31期2016-12-16
- 由一道习题引发的思考
内移”，应先确定根号外因式的符号，若根号外的因式是非负数，则把因式平方后移到根号内；若根号外的因式是负数，则把负号留在根号外，再把根号外的因式平方后移到根号内进行化简.【点评】根号外的因式的范围应根据被开方数中字母所隐含的取值范围确定.“内移”的过程实质是逆用公式，由开方运算变为平方运算.数学是思维的体操，概念又是思维的细胞，只重结果而不重数学概念形成的来龙去脉，很容易舍本逐末，形成认识的误区.因此，我们在平时的学习过程中，要经历数学概念的形成过程，这样才
初中生世界 2016年30期2016-07-23
- “二次根式”易错题辨析
母；③分母中不含根号.（a≥0）中有能开方的因数；（c≥0）中有分母；（a≥0）中有因式（x>1）的分母中含有“”.故选A.∴3a=a+2，解得a=1.∴3a=9a+18，解得a=-3.【辨析】显然当a=-3时，3a=-9【正解】由题知3-x≥0，∴x≤3，∴x-5≤0.【错解】原式=（x-5）-（3-x）=x-5-3+x=2x-8.三、忽略题中的隐含条件【正解】C.【错解】B.【正解】C.【错解】D.【辨析】在进行二次根式“内移”运算时，应先确定根号外因
初中生世界 2016年30期2016-07-23
- 二次根式运算中的易错点辨析
号内的运算一样，根号内的运算要首先进行.注意：≠±正解：（1）原式===13；（2）原式===8.五、忽视题设的隐含条件例5 若m=，试求-的值.错解：-=-=-=m-1-=2--1-（2+）=-1-2错因剖析：错解是由于忽视了题设中 m==2-<1，即m-1<0这一隐含条件.正解：-=-=-=m-1+=2--1+2+=3.六、根号外的数（式）与根号内的数（式）约分例6 计算：.错解：原式=+=+=2+3=5.错因剖析：错在把根号外的“3”与根号内的“12
语数外学习·上旬 2016年1期2016-04-05
- 揭开二次根式双重非负性的神秘面纱
根式时，有时需将根号外的式子移人根号内，以使式子的化简更为顺利.如果根号外的式子为非负值，可以将其平方后移人根号内，根号前的符号不发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将它变号，再平方后移人根号内，
中学生数理化·八年级数学人教版 2016年1期2016-03-16
- 实数大小比较的方法
数平方后能将原有根号去掉，所以可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小来确定两数绝对值的大小，进而得到原来两数的大小.三、 移动因式法移动因式法就是将根号外面的因数移到根号的内部，或将根号内的因数移到根号外，再比较被开方数的大小.【分析】根据算术平方根的意义，将根号外的数移到根号内，再比较两个被开方数的大小.【说明】也可用平方法比较这两个数的大小.四、 求差法求差法就是求出两个数的差，然后将所求的差与0进行大小比较，当差小于0时，被减数小，反之被减数大.可
初中生世界·八年级 2015年12期2015-12-28
- 开口弧段带根号Riemann边值问题
探讨了开口弧上带根号Riemann边值问题.通过对未知函数Ψ（z）结构的分析，把带根号的Riemann边值问题化为一般的Riemann边值问题，进一步又可将其化为经典的Riemann边值问题，从而得到问题的解。关键词：Riemann边值问题；根号；开口弧线段一、相关问题，记法本文讨论L为一开口弧段带根号Riemann边值问题，即设L为复平面中一开口光滑弧段ab（a≠b），取定a至b为其正向，要求再复平面被L剖开后的区域S中的全纯函数ψ（z），满足边值条件：
商 2015年50期2015-05-30
- 含二次根式的函数化简和求值域问题的研究
一些方法将根式的根号化去，使之转化为一些三角函数的线性组合的形式，使得函数在形式上变得更简单，从而快速、准确地进行二次根式的运算和求值.根式去根号问题形式丰富，千变万化.高中数学常见的去根号的方法有三种：（1）（Δ）2=Δ，将整个根式平方；（2）配方法.Δ2=|Δ|，通过配方将被开方式化为完全平方式，从而化简根式；（3）换元法.令Δ=t，则Δ=t2，将整个根式用另外一个新变量替换，从而将原根式用新变量表示.
中学教学参考·理科版 2015年9期2015-05-30
- 异数
梁立靖根号三，是一个无法开方的数，只因带了根号，在数字中显得那么不自然。它的本质还是数，却因为无法开方而永远躲在根号下，陷入无尽的循环和黑暗中。这样的它们，被人们称为“异数”。每个学校，每个班级，或多或少都会有那么几个与环境气氛格格不入的孤独影子，他们用沉默与自闭包裹自己，像刺猬一样竖起刺儿，遮住那些像针似的密密扎来的异样眼光，他们用了一种最安全的方法保护自己，却也刺伤了想靠近他们的友好的人。这样的他们，被人们称为“异类”。异数是数，异类到底他是人类，为什
作文周刊·高一版 2014年41期2015-03-17
- “实数”易错题专练
是无限小数C.带根号的数都是无理数D.无理数包括正无理数、0和负无理数4.下列各组数的大小关系表示正确的是（ ）。 3.下列说法中正确的是（ ）。A.无限小数都是无理数B.无理数都是无限小数C.带根号的数都是无理数D.无理数包括正无理数、0和负无理数4.下列各组数的大小关系表示正确的是（ ）。 3.下列说法中正确的是（ ）。A.无限小数都是无理数B.
中学生数理化·七年级数学人教版 2014年1期2014-06-20
- “巧去根号”求解不定积分
说明如何 “巧去根号”求解不定积分。[关键字]不定积分 去根号 三角代换 变量代换在求解被积函数表达式中含有根号的不定积分时，通常想办法去根号。一般去根号的方法有凑微分法、三角代换法、到代换法、取最小公倍数法，例如被积函数中同时出现 ，通常取 ，如果被积函数中只出现一个根号，例如 便可去掉根号。但是，对于求解不定积分时经常碰到的一类例题，除了可以用上述方法“去根号”求解外，还有一种特殊的简便的“去根号”方法却不容易令人想到，例如下面的例题：例 求解不定积分
知识力量·教育理论与教学研究 2013年11期2013-11-11
- 九问无理数
数两类．５． 带根号的数都是无理数吗？答： 其实就是有理数２， 也是有理数２，可见带根号的数不一定是无理数．当然，带根号的数有许许多多都是无理数，例如 、 、 、 等．它们都有一个共同的特点，那就是开方开不尽．６． 无理数都是用根号形式来表示的数吗？答：圆周率π是无理数，但它并不是用根号形式表示的；又比如０．１０１ ００１ ０００ １…（小数点后每两个１之间依次增加一个０）也是无理数，但它也是不带根号的无理数．７． 无理数与有理数的乘积是无理数吗？答：任何
中学生数理化·八年级数学华师大版 2008年7期2008-09-27
- 解答二次根式问题常见错误分析
4 把式子a 中根号外的因式适当改变后移到根号内，并使原式的值不变.错解：原式＝= .评析： 利用公式a= （a≥0）时，前提是a≥0.根号外的负因式（数）不能移进根号内，如-2≠ .因此，在将根号外的因式（数）移进根号内前，一定要先判断所移因式（数）是否非负.正解：由题意可知- ≥0，得a<0，所以-a>0.∴原式＝-（-a） =-=- =- .例5 化简： .错解：原式＝ + = + = =2 .评析： 在a≥0，b≥0时，有 = • ，但一般情况下
中学生数理化·中考版 2008年7期2008-09-27