开口弧段带根号Riemann边值问题

张红玲　沈永祥

摘要：本文探讨了开口弧上带根号Riemann边值问题.通过对未知函数Ψ（z）结构的分析，把带根号的Riemann边值问题化为一般的Riemann边值问题，进一步又可将其化为经典的Riemann边值问题，从而得到问题的解。

关键词：Riemann边值问题；根号；开口弧线段

一、相关问题，记法

本文讨论L为一开口弧段带根号Riemann边值问题，即设L为复平面中一开口光滑弧段ab（a≠b），取定a至b为其正向，要求再复平面被L剖开后的区域S中的全纯函数ψ（z），满足边值条件：

ψ+（t）=G（t）ψ-（t）+g（t），t∈L，t≠a，b，（1.1）

其中G（t），g（t）∈H（L），在L上G（t）≠0（正则）且要求ψ±（t）在L＼{a，b}，ψ（z）在z=∞处至多为K阶（K为一确定的整数，正数、负数、零均可）。

为简明，要求ψ（z）∈h0，即它在a与b处可能有不到1的奇异性.要求ψ（z）在z=∞处的阶数为K，K-2，K-4，…这种问题（1.1）记为K.

二、K与N均为偶数或均为奇数开口弧段带根号Riemann边值问题的求解

设K问题（1.1）的解ψ（z）在区域S中奇数阶零点为c1，c2，…cN，并记

Π（z）=（z-z1）（z-z2）…（z-zN），（1.2）

其中N为非负整数.

当K=2r与N=2m或K=2r-1与N=2m-1时，ψ（z）/ Π（z）在z=∞处有偶数阶，至多为2（r-m）阶.由单值化定理可以写成

ψ（z）=Π（z）Φ（z）2，z∈S，

或

ψ（z）=Π（z）Φ（z），z∈S，（1.3）

其中Φ（z）在S中全纯，在z=∞处至多为r-m阶，而ψ（z）为取定的连续分支，此时，问题就转化为了Φ（z）在h0类中的经典问题

Φ+（t）=G（t）+g（t）/Π（t），t∈L＼{a，b} t∈L＼{a，b}（1.4）

求出这个问题的解以及可解条件后，我们所要的解就由（1.3）得出.

设G（t）在h0类中的典则函数为X（z），指标为κ.

其中

k=κ+r-m，（1.5）

分情况讨论

（1）k≥-1，问题（1.4）在h0类中的一般解为

Φ（z）=X（z）[F（z）+Pk （z）]，zL，（1.6）

其中

F（z）=1/2πi∫Lg（t）d（t）/Π（t）X+（t）（t-z），zL（1.7）

Pk（z）为k次任意多项式.于是，由（1.3），K问题（1.1）在h0类中的一般解为

Ψ（z） =Π（z）X（z）[F（z）+Pk（z）]，zL（1.8）

（2）k<-1，问题（1.4）在h0类中有唯一解（1.8），其中Pk（z）≡0，此时可解条件为∫Ltjg（t）d（t）/Π（t）X+（t）=0，j=0，1，….-k-2。（作者单位：吉林师范大学数学学院）

参考文献：

[1]路见可著.解析函数边值问题[M]. 武汉大学出版社， 2004

[2]陈荆松，路见可. 带根号的Riemann边值问题[J]. 数学杂志. 2007（06）

[3]史西专. 一种带平方根的Riemann边值问题在开口弧段上的解法[J]. 广西民族学院学报（自然科学版）. 2004（04）

[4]路见可. ON SOLUTION OF A KIND OF RIEMANN BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH SQUARE ROOTS[J]. Acta Mathematica Scientia. 2002（02）