“巧去根号”求解不定积分

王会平

[摘要]本文通过一题多解举例说明如何 “巧去根号”求解不定积分。

[关键字]不定积分 去根号 三角代换 变量代换

在求解被积函数表达式中含有根号的不定积分时，通常想办法去根号。一般去根号的方法有凑微分法、三角代换法、到代换法、取最小公倍数法，例如被积函数中同时出现 ，通常取 ，如果被积函数中只出现一个根号，例如 便可去掉根号。但是，对于求解不定积分时经常碰到的一类例题，除了可以用上述方法“去根号”求解外，还有一种特殊的简便的“去根号”方法却不容易令人想到，例如下面的例题：

例 求解不定积分

解法1 注意到这里 因此，令

【注意】只要属于此类型的不定积分，计算时均可采用上述方法，该方法简洁，能够快速计算出结果。另外，本题还可用凑微分法，三角代换法，根号整体变量代换法“去根号”求解。

解法2 （凑微分法）

解法3 （三角代换法）

本题还可以令 进行变量代换求解，但是对于本题而言计算有些麻烦，可以让学生动手去试试，让其与比较上述方法进行比较，此题选择什么方法“去根号”求解更简单方便。此题更适合选择上述三种方法。

在计算带根号的不定积分时，首先考虑“去根号”，如何简单、快速地“去根号”求解出不定积分，是不定积分教学的重点和难点。在教学中，教师可着重选择几道典型例题，通过一题多解的形式比较“去根号”法的适宜性，这样有利于发散学生思维，能够让学生领悟到不同的题目应怎样选择适宜的“去根号”方法，从而使得学生能够熟练计算各种类型的不定积分，为学习后续知识奠定坚实的基础。

[参考文献]

[1]同济大学数学系.高等数学（下）（第六版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2007.

[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1984：296～373.

（作得单位：昆山花桥商务城中专 江苏昆山）