例谈竞赛中含根号问题的解法

周友德

(安徽省芜湖市无为县蜀山镇黄姑小学 238361)

一、利用平方差公式：a2-b2=a+ba-b

除了上述常见的分母有理化外，还有分子有理化：

故a

同理：

故x

评析利用平方差公式，将分数分母(或分子)有理化，从而使题目得到化简，避免了繁琐的解答.

二、利用完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2

例5 (2013年北京市初二竞赛题改编)化简

①②相加减即可得到如下公式：

评析利用完全平方公式，可以将含多个根号的数，逐步去根号，得到最终的答案，但是前提是知道根号下的数到底是什么数的平方，这才是关键.必需不断的做题，练习，总结.

三、利用合情推理

……

评析合情推理是波利亚的"启发法"中的一个推理模式2.就是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推出可能性结论的推理．要做此类题时，一定要大胆猜想，通过对前几项根号的逐步计算，通过合情推理，得出最终的结论.

四、利用完全立方公式：a+b3=a3+b3+3aba+b

⟹x3=4-3·x

⟹x3+3x-4=0

⟹x-1x2+x+4=0

⟹x=1

⟹x3=12+5x

⟹x3-5x-12=0

⟹x-3x2+3x+4=0

⟹x=3

评析通过完全立方公式a+b3=a3+b3+3aba+b化简这类根号题，必须先令整个式子为x，然后两边三次方，从而解出实数x.但要注意两个三次根号下的数必须是对偶数才可以用此法.

五、其他升级

1.综合化归

综合化归,即综合前面所讲的所有方法进行化归，对学生的能力要求更高.

①+②+③得：

2.整体代换

解可得1994=2x-12即4x2=4x+1993，故4x3-1997x-1994=x(4x+1993)-1997x-1994=4x2-4x-1994=1993-1994=-1

⟹4x3-1997x-19942001=-12001=-1.

解可得3=a+12⟹a2-a+1=3-3a

⟹原式=a3a2-a+1+a2-a+1=a3+1a2-a+1

=a+1a2-a+12

=a+13-3a2

3.裂项变形

4.因式分解

评析含根号的题目变化万千，但只要掌握其本质，就能一招制敌，要会举一反三.这样才能在做题时，多角度，多思维地去考虑，才能在做题中找到合适的方法.

通过以上的多种方法的化归，转化过渡，就能使问题能由繁变简，由难变易，通过多元化的解题方法能让学生更加体会到数学中的千变万化的美.学生应在不断做题中，在方法的不停的交汇中，就能达到自身水平的提高，这样才会在解题时，找到浑然天成的解题方法.