巧用相似三角形的性质解三角形面积规律问题

赵永旺

(山东省东营市广饶滨海学校 257345)

笔者在近几年的中考模拟与中考试题中，关于三角形的面积规律问题研究发现，命题人在命题时从课程标准出发，以找规律的形式对三角形相似的判定与性质这一知识点进行考查，规律最后的得出都源于同一知识点，下面以例析的形式对此类问题的解法进行归纳，以供大家参考.

图1

例题1 (2013·浙江自主招生)如图1，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn= (用含n的式子表示)．

分析由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．

图2

解答n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，作出直线B1B2.

∴AB1∥B2C1，∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，

∴△B1B2D1∽△C1AD1，

同理：BnBn+1∶ACn=1∶n，∴BnDn∶DnCn=1∶n，

点评此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

例题2 (2016年潍坊市临朐、昌邑一模)如图3，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…,Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…,△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．(用含n的式子表示)

图3

分析由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…,Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案.

解答∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…,Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，

∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，

点评此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式.此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键.

图4

例题3 如图4，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、…、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为 .

分析根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案.

解答∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，

∴B1(1，2)，同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2(2，4)，B3(3，6)，….

∴△A1B1P1与△A2B2P2对应高的比为：1∶2，

点评此题考查了一次函数函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键.

通过对以上四个例题的解析，我们可以看出，这类问题都是利用了相似三角形的判定与性质，结合三角形的面积公式，通过计算找出规律.以后遇到此类问题要想到就是对三角形的判定与性质的考查，不要再去产生其它盲目想法，认清方法，仔细推算，总结规律，准确写出通式.