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(南京金陵中学河西分校,江苏 南京 210019)
原创题如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为∠BAC的角平分线上一点,且∠BDC=67.5°,求证:CD=BC.
图1 图2
此题题干简练、图形清晰,看似不难,但提笔求解却并不容易,笔者先利用八年级的数学知识给出一种证法:
证法1因为∠ACB=90°,AC=BC,所以
∠BAC=∠ABC=45°.
如图2,作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,则
DE=DF, ∠FDE=135°,
又因为∠BDC=67.5°,所以
∠BDF+∠CDE=67.5°.
延长CE至点G,使得EG=FB,可得
Rt△DEG≌Rt△DFB(SAS),
从而
DG=DB, ∠GDE=∠BDF,
于是∠GDC=∠GDE+∠CDE=67.5°=∠BDC.
又DC=DC,得△GDC≌△BDC(SAS),从而
于是
∠DBC=67.5°=∠BDC,
故
CD=BC.
评注由角平分线上的点想到作“双垂线”非常自然,但后续的辅助线及两次全等三角形的证明,显然不易.能从其他角度求解吗?下面笔者利用“隐圆”再给出另5种较为简洁的证法,供读者参考.
证法2因为∠ACB=90°,AC=BC,所以
∠BAC=∠ABC=45°.
如图3,作△ABD的外接圆交AC的延长线于点E,则∠BDE=135°,从而
∠EDC=135°-67.5°=67.5°=∠BDC.
因为AD平分∠BAE,所以BD=ED,又DC=DC,于是
△BDC≌△EDC(SAS),
从而
∠DBC=∠BDC,
故
CD=BC.
图3 图4
证法3因为∠ACB=90°,AC=BC,所以
∠BAC=∠ABC=45°.
如图4,作△ABC的外接圆交AD于点E,联结BE,CE,则
∠BEA=∠BCA=90°, ∠BED=90°,
∠BEC=135°=2∠BDC.
因为ED平分∠BAC,所以
BE=CE,
点E为△DBC的外心,可知
∠BCD=∠BED=45°,
从而
∠DBC=67.5°=∠BDC,
故
CD=BC.
评注这两种证法通过作出“隐圆”——三角形的外接圆,促成了角的关系显性化,特别是证法2,从作外接圆到产生新的“隐圆”,为问题的解决铺平了道路.
证法4因为∠ACB=90°,AC=BC,所以
∠BAC=∠ABC=45°.
如图5,设E为△ABC的内心,则点E在AD上,联结BE,CE,则BE平分∠BAC,CE平分∠ACB,可知
∠BEC=112.5°,
从而
∠BEC+∠BDC=180°,
因此点B,E,C,D共圆,从而
∠DBC= ∠DEC=∠EAC+∠ECA=
67.5°=∠BDC,
故
CD=BC.
图5 图6
证法5因为∠ACB=90°,AC=BC,所以
∠BAC=∠ABC=45°.
如图6,在AC的延长线上取点E,使得AE=AB,联结BE,DE,则
∠AEB=∠ABE=67.5°=∠BDC,
从而点B,C,E,D共圆,于是
∠BDE=180°-∠BCE=90°.
因为AD平分∠BAE,所以AD垂直平分BE,可得
BD=ED,
即
∠DBE=45°,
从而 ∠DBC=∠EBC+∠DBE=67.5°=∠BDC,故
CD=BC.
证法6因为∠ACB=90°,AC=BC,所以
图7
如图7,在AB上取点E,使得AE=AC,联结CE,DE,则
∠AEC=∠ACE=67.5°=∠BDC,
从而点B,E,C,D共圆,于是
∠CDE=∠ABC=45°.
因为AD平分∠CAE,所以AD垂直平分CE,可得
CD=ED,
从而
得
∠DBC=67.5°=∠BDC,
故
CD=BC.
评注这3种证法通过证明“隐圆”——四点共圆,使得角的关系更加密切,问题的解决也就水到渠成了.
这是一道难得一见的几何题.几种确定“隐圆”的常用方法在此大展身手,彰显了圆的独特魅力.图中无圆,心中有圆,难题不难.波利亚曾说过:“一个专心、认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.”在日常教学中善于发现、创造这样的问题,是教师专业发展的必修课,也是成为优秀数学教师的必由之路.