一道IMO试题的另解与探究

秦建华

一、试题呈现

设P是△ABC内的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M，圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP，证明：MK=ML[1].（第51届IMO）

证明：如下图，设AC>BC，由切割线定理知SC2=SP2=SB·SA，就有△APS∽△PBS，△ACS∽△CBS，

于是BC1AC=BP1AP①

由相交弦定理知ML1BC=PM1PB②，AC1MK=PA1PM③，

②×③得ML·AC1MK·BC=PA1PB④，

①×④得ML1MK=1，故MK=ML.

二、题目条件减弱

设P是△ABC的外接圆内的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M，圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP，证明：MK=ML.（证明同上，故从略.）

三、逆命题也成立

设P（除圆心）是△ABC的外接圆内的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M，圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若MK=ML，证明：SC=SP.

证明（同一法）：设AC>BC，△ABP的外接圆Ω在P点的切线交直线AB于S′，由切割线定理注意到：

△CBS∽△ACS，△PBS′∽△APS′

有SB1SC=SC1SA=CB1CA①，

S′B1S′P=S′P1S′A=PB1PA②，

①②知SB1SA=CB21CA2③，S′B1S′A=PB21PA2④.

由相交弦定理注意到CB1PB=ML1PM，CA1PA=MK1PM，又ML=MK，有CB1CA=PB1PA⑤，由③④⑤知SB1SA=S′B1S′A，于是就有SB1AB=S′B1AB，故S和S′重合（由题设知S′与A处于B的异侧）.综上①②⑤知SC=SP.

参考文献

[1]2010第51届IMO[J].中等数学，2010（9）.

（责任编辑黄桂坚）endprint