基于核心素养的向量建模复习课*

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(华维外国语学校,浙江 绍兴 312300)

高三，是学生冲刺高考的备考阶段，是查漏补缺、复习巩固的最后机会.然而数学难，是学生共认的，难在知识点的理解，难在知识点的融合，难在题目的变形，难在解题方法的千变万化和思维要求之高，等等.在数学高考中如何争取更多的分数，决定了高考整体的成败，作为数学教师，肩上承担了“如何提升学生的数学解题能力”的责任.课堂是学生学习数学的主要阵地，课堂教学是教师“传道授业解惑”的主要方式，如何提高课堂教学的效度，变“授学生以鱼”为“授学生以渔”，是每个数学教师必须思考的实际问题.

核心素养，是近几年提出的对高中学科教学的综合性教学目标.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，全面概括了高中数学的教学核心目标，体现了学生的数学综合素养.

基于数学核心素养，教师应着重对学生的知识结构的形成与建立、对课堂知识的展示与巩固、对解题思路的引导与激发进行爆破性梳理.在此基础上对学生的知识理解和应用进行突破和引导，提升学生解决数学问题的能力高度.本文重点基于“数学抽象”，形成“直观想象”，明确“数学建模”，对高考数学复习中的向量问题进行系统性解惑.

1 向量建模之点到直线的距离

数学的基本思想是“抽象”，即抽丝剥茧，舍弃问题的物理属性，从中得到问题的研究对象，抓住数学本质，把概念与概念间的联系直接转化为解题的思路.

|b-ta|(其中t∈R)初看之下就是求某个向量的模长，如果学生采用两边平方就会陷入计算的麻烦.事实上从几何意义的角度看：若a与b起点相同，则|b-ta|(其中t∈R)就是求b的终点到a所在直线上点的距离，这样的模型建立使得求|b-ta|(其中t∈R)的最小值简单易懂.

例1已知共面向量a,b,c满足|a|=3，b+c=2a,且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向量b，记|b-ta|(其中t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为

( )

A.0 B.2 C.4 D.6

(2017年浙江省台州市数学质量调测试题第10题)

图1

OB=BC,

即

(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2,

整理得

r2-2rcosθ-3=0，

于是

而|b-ta|(其中t∈R)的最小值为dmin,则

因此dmin的最大值是2.故选B.

2 向量建模之三角形

向量的加法、减法与三角形有着天然的联系，我们可以利用三角形中的几何关系来简化向量的运算，实现快速解题.提到三角形，学生会想到：三角形的边长关系、正(余)弦定理等，有时候甚至延伸到平行四边形.这些均为简洁有效的解题方法，而解题关键是如何找到问题知识与解题方法之间的联系，建构正确的思维框架，最后解决问题水到渠成.

图2

例2已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是______.

分析利用题设条件及其几何意义，构造三角形即可迎刃而解.本题主要考查平面向量的四则运算及其几何意义，突出考查问题的转化能力和数形结合的能力.

从而

3 向量建模之圆形

学生在初中阶段就详细具体地学习过圆，因此圆对高三学生来说是比较容易建立的模型之一，而且在高中解析几何教学中，又给圆插上了坐标的翅膀.当两个向量垂直(或者夹角为定值)时，我们可以直接构造圆来求解，特别是求某个量的范围时，可以采用坐标法进行数据处理.

例3已知平面向量a,b满足|a|=|b|=a·b=2，且(a-c)·(b-c)=0，则|b+c|的最大值为______.

(2017年浙江省绍兴市上虞区二模数学试题第16题)

图3

4 向量建模之面积

空间的“直观想象”体现了学习者的数学素质.根据待解决的问题，借助几何直观和空间想象能够感知问题的形式与变化，利用图形相连来描述数学问题，利用图形相通来分析数学问题，构建有效的直观数学模型来解决数学问题，提升学生数形结合的能力，培养创造性和转化性思维.

在向量题中，面积类问题在高考模拟卷中是新出现的题型.它集中了向量数量积的概念、三角函数、点到直线的距离等知识点，属于向量中的综合类题型，对学生的思维要求较高，不仅需要扎实的基础知识，还需要知识间的融会贯通.

例4已知平面向量a,b,c满足|a|=4，|b|=3，|c|=2，b·c=3，则(a-b)2(a-c)2-[(a-b)·(a-c)]2的最大值为

( )

(2017年浙江省绍兴市柯桥区二模数学试题第9题)

从而(a-b)2(a-c)2-[(a-b)·(a-c)]2=

BA2·CA2-(BA·CA·cos∠BAC)2=

(BC·h)2,

5 向量建模之空间图形

历年浙江省数学高考中，向量一直以平面向量的形式呈现，而且在实际教学中，空间向量往往是一种解决立体几何问题的工具，并不单独考查.2015年浙江省数学高考理科试题第15题，很多考生未能成功破解的主要原因：除题目本身具有一定的思维难度之外，关键是没有关注到该题考查的是“空间”向量还是“平面”向量，进而影响到构造的是平面图形还是空间图形.

(2015年浙江省数学高考理科试题第15题)

6 向量建模之综合题型

综合题型是考查向量的最高层次，融合了各种与向量有关的元素：三角形、圆形、三角函数、坐标、最值等，考查学生图形处理、数据运算、逻辑推理等数学核心素养，对学生数学思维的训练和解题能力的提升具有相当重要的作用.

( )

(2017年嘉兴市第一中学、杭州高级中学、宁波效实中学等五校第二次联考数学试题第10题)

f=|m|2+|n|2+m·n,

从而

利用三角函数的有界性,得

7 几点反思

反思1向量是高中数学中重要的数学概念和数学工具之一，是数形结合的一个典范，代数问题几何化、几何问题代数化等多角度思维，是向量问题的特点.

反思2对于数学核心素养而言，向量几乎涵盖了核心素养的所有方面，包括抽象、推理、建模、想象、运算和分析，概括了高中数学的教学核心目标，考查了高中学生的数学核心思维，体现了思考分析、数学建模等核心能力.

反思3向量教学应着重对知识结构的形成与建立进行有效引导，教师应对课堂知识的理解与巩固进行有效指导，对解题思路的分析与突破进行有效向导，努力做到“授人之渔”.

反思4在高考中显性的向量问题多以选择题和填空题的形式出现，可以利用数形结合来解决.但在实际解题中，能取得意外效果、达到“事半功倍”的往往是那些隐性的向量问题.

图4

1)求直线AP斜率的取值范围；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省数学高考试题第21题)

总之，对于向量问题，通过“抽象”，形成“想象”，正确“建模”，有利于提升向量复习课堂教学的针对性，提高学生解决向量问题的有效性.