一道不等式题的多种巧证和结论推广*

安徽省合肥市第一中学 (230601) 邱均儒 谷留明(指导教师)

1 原题呈现

设x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

2 解法探析

证法1：(构造一次函数)令f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1,x∈(0,1)，∴f(0)=-(y-1)(z-1)<0,f(1)=-yz<0.由于函数f(x)的图象是一条线段,故f(x)<0.所以x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

图1

图2

证法4：(构造立体图形)如图3,构造一个边长为1的正方体ABCD-EFGH,在正方体中分别取边长为x,1-y,1的长方体IOPQ-EFRS,边长为y,1-z,1的长方体AMND-IJKL,边长为z,1-x,1的长方体TKCN-URGV.

图3

由于x,y,z∈(0,1),根据体积关系可知VIOPQ-EFGR+VAMND-IJKL+VTKCN-URGV=VABCD-EFGH-VMBKT-JOPW-VQWKL-SUVH,即x·(1-y)·1+y·(1-z)·1+z·(1-x)·1=1·1·1-x·y·z-(1-x)·(1-y)·(1-z)<1.

三、结论推广

证明：如图4所示,构造一个边长为1的正n边形A1A2A3...An,并分别在A1A2,A2A3,...,An-1An,AnA1上取B1,B2,...,Bn-1,Bn,使得A1Bn=x1,A2B1=x2,...,An-1Bn=xn-1,AnBn-1=xn.

图4

四、解法探源

看到原不等式时,可以知道本题是一道三元函数的不等式问题,对于较难入手的多元函数,我们第一个想到的方法应当是主元法,故证法1是一个自然的解法.又由于三个未知数可以联想到一个一元三次方程的三个实根,所以证法2通过这个思路也不难想到.证法3与证法4是十分巧妙的几何证法,通过构造不等关系来证明不等式.上述四个解法均体现出“数缺形时少直观”数学特点.当思考完这四种证法后,很自然地我们会想到推广原来的不等式.通过对四个证法的剖析,我们可以知道原题通过证法3进行推广是最自然的,于是就有“结论推广”中的命题与证法.

事实上,在n≥5的情况下,“结论推广”中的不等式是一个非常宽松的不等式,所以可以继续思考对于n≥5是否有更加完美的形式.