解一元二次方程中的误点例析

杨红余

(甘肃省平凉市第四中学 744000)

一、忽视二次项系数是否为零

我们知道，对于方程ax2+bx+c=0，当二次项的系数a≠0时，才能称ax2+bx+c=0是一元二次方程.如果不注意a是否为零这个限制条件，很容易导致解题失误.

例1 关于x的方程(k-1)x2+2x+3=0，当k为何值时，该方程

(1)有两个不相等的实数根？

(2)有实数根？

剖析原方程的二次项x2的系数是k-1，而k-1有可能是零，此时原方程不是二次方程，不能用判别式法求解.

(2)该方程不一定是二次方程，需对k-1是否为零分类求解.

①当k-1≠0时，是二次方程，由方程有实根，应有

二、忽视了方程的根是否是实根

例2 如果方程2x2+(a2-3a-10)x+2a=0的两个实根互为相反数，求a的值.

错解设方程的两个实根是x1和x2，由题意有x1=-x2，即x1+x2=0.

那么由二次方程根与系数的关系知

可化为(a-5)(a+2)=0,解得a=5或者a=-2.

剖析注意到方程的两个实根互为相反数的前提条件是方程有实根，所以不能忽略了判别式的检验作用.

实际上，当a=5时，Δ=0-4×2×10=-80<0，方程无实根， 不合题意；

所以本题正确答案是a=-2.

三、忽视了方程根的符号

错解由根与系数的关系知αβ=1，故α与β同号.那么

因此本题正确答案应是-2.

四、忽视了根的范围

例4 若方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个实根是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，求m的值.

错解设方程的两实根分别为sinA,sinB,则有sinB=cosA.

将前式平方，注意到sin2A+cos2A=1，再将后式代入，可得

剖析以上解法虽然解后十分注意检验了Δ>0，但还是忽视了锐角正弦值的取值范围的限制条件：0